Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3395
2017-05-20 
Небольшое тело массы $m$ находится на горизонтальной плоскости в точке O. Телу сообщили горизонтальную скорость $v_{0}$. Найти:
а) среднюю мощность, развиваемую силой трения за все время движения, если коэффициент трения $k = 0,27, m = 1,0 кг$ и $v_{0} = 1,5 м/с$;
б) максимальную мгновенную мощность силы трения, если коэффициент трения меняется по закону $k = \alpha x$, где $\alpha$ — постоянная, $x$ — расстояние от точки О.
Решение:
Пусть тело $m$ приобретает горизонтальную скорость $v_{0}$ вдоль положительной оси x в точке O.
(a) Скорость тела через $t$ секунд после начала движения,
$\vec{v} = \vec{v}_{0} + \vec{w} t = (v_{0} - kg t) \vec{i}$ (1)
Мгновенная мощность $P = \vec{F} \cdot \vec{v} = (-kmg \vec{i}) = - kmg ( v_{0} - kgt)$
Из уравнения (1), время движения $\tau = v_{0} / kg$.
Следовательно, искомая средняя мощность за время движения
$\langle P \rangle = \frac{ \int_{0}^{ \tau} -kmg (v_{0} - kgt )dt}{ \tau} = - \frac{ kmg v_{0}}{2} = - 2 Вт$ (при подстановке)
Из $F_{x} = mw_{x}$
$-kmg = mw_{x} = mv_{x} \frac{dv_{x}}{dx}$
или, $v_{x}dv_{x} = -kg dx = - \alpha g xdx$
Чтобы найти $v(x)$, проинтегрируем приведенное выше уравнение
$\int_{v_{0}}^{v} v_{x} dv_{x} = - \alpha g \int_{0}^{x} xdx$ или, $v^{2} = v_{0}^{2} - \alpha gx^{2}$ (1)
Теперь $\vec{P} = \vec{F} \cdot \vec{v} = - m \alpha cg \sqrt{ v_{0}^{2} - \alpha g x^{2}}$ (2)
Для максимальной мощности, $ \frac{d}{dt} ( \sqrt{v_{0}^{2} x^{2} - \lambda gx^{4}} ) = 0$, что дает $x = \frac{v_{0}}{ \sqrt{2 \alpha g}}$.
Подставляем это значение $x$ в уравнении (2) получим,
$P_{max} = - \frac{1}{2} mv_{0}^{2} \sqrt{ \alpha g}$
Небольшое тело массы $m$ находится на горизонтальной плоскости в точке O. Телу сообщили горизонтальную скорость $v_{0}$. Найти:
а) среднюю мощность, развиваемую силой трения за все время движения, если коэффициент трения $k = 0,27, m = 1,0 кг$ и $v_{0} = 1,5 м/с$;
б) максимальную мгновенную мощность силы трения, если коэффициент трения меняется по закону $k = \alpha x$, где $\alpha$ — постоянная, $x$ — расстояние от точки О.
Решение:
Пусть тело $m$ приобретает горизонтальную скорость $v_{0}$ вдоль положительной оси x в точке O.
(a) Скорость тела через $t$ секунд после начала движения,
$\vec{v} = \vec{v}_{0} + \vec{w} t = (v_{0} - kg t) \vec{i}$ (1)
Мгновенная мощность $P = \vec{F} \cdot \vec{v} = (-kmg \vec{i}) = - kmg ( v_{0} - kgt)$
Из уравнения (1), время движения $\tau = v_{0} / kg$.
Следовательно, искомая средняя мощность за время движения
$\langle P \rangle = \frac{ \int_{0}^{ \tau} -kmg (v_{0} - kgt )dt}{ \tau} = - \frac{ kmg v_{0}}{2} = - 2 Вт$ (при подстановке)
Из $F_{x} = mw_{x}$
$-kmg = mw_{x} = mv_{x} \frac{dv_{x}}{dx}$
или, $v_{x}dv_{x} = -kg dx = - \alpha g xdx$
Чтобы найти $v(x)$, проинтегрируем приведенное выше уравнение
$\int_{v_{0}}^{v} v_{x} dv_{x} = - \alpha g \int_{0}^{x} xdx$ или, $v^{2} = v_{0}^{2} - \alpha gx^{2}$ (1)
Теперь $\vec{P} = \vec{F} \cdot \vec{v} = - m \alpha cg \sqrt{ v_{0}^{2} - \alpha g x^{2}}$ (2)
Для максимальной мощности, $ \frac{d}{dt} ( \sqrt{v_{0}^{2} x^{2} - \lambda gx^{4}} ) = 0$, что дает $x = \frac{v_{0}}{ \sqrt{2 \alpha g}}$.
Подставляем это значение $x$ в уравнении (2) получим,
$P_{max} = - \frac{1}{2} mv_{0}^{2} \sqrt{ \alpha g}$
