Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3383
2017-05-20 
С вершины гладкой сферы радиуса $R = 1,00 м$ начинает соскальзывать небольшое тело массы $m = 0,30 кг$. Сфера вращается с постоянной угловой скоростью $\omega = 6,0 рад/с$ вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Найти в системе отсчета, связанной со сферой, центробежную силу инерции и силу Кориолиса в момент отрыва тела от поверхности сферы.
Решение:
Уравнение движения во вращающейся системе координат:
$m \vec{w}^{ \prime} = \vec{F} + m \omega^{2} \vec{R} + 2m ( \vec{v}^{ \prime} \times \vec{ \omega})$
Тогда, $\vec{v}^{ \prime} = R \dot{ \theta} \vec{e}_{ \theta} + R \sin \theta \dot{ \phi} \vec{e}_{ \phi}$
и $\vec{w}^{ \prime} = w^{ \prime} \cos \theta \vec{e}_{r} w^{ \prime} \sin \theta \vec{e}{ \theta}$
$\frac{1}{2m} \vec{F}_{cor} = \begin{bmatrix} \vec{e}_{r} & \vec{e}_{ \theta} & \vec{e}_{ \phi} \\ 0 & R \dot{ \theta} & R \sin \theta \dot{ \phi} \\ \omega \cos \phi & - \omega \sin \theta & 0 \end{bmatrix} = \vec{e}_{r} ( \omega R \sin^{2} \theta \dot{ \phi}) + \omega R \sin \theta \cos \theta \dot{ \phi} \vec{e}_{ \theta} - \omega R \theta \cos \theta \vec{e}_{ \theta}$
Тогда на сфере,
$\vec{v} = (- R \dot{ \theta}^{2} - R \sin^{2} \theta \phi^{2}) \vec{e}_{r} + (R \dot{ \theta} - R \sin \theta \cos \theta \dot{ \phi}^{2}) \vec{e}_{ \theta} + (R \sin \theta \ddot{ \phi} + 2R \cos \theta \dot{ \theta} \dot{ \phi}) \vec{e}_{ \phi}$
Таким образом, уравнение движения,
$m(- R \dot{ \theta}^{2} - R \sin^{2} \theta \dot{ \phi}^{2}) = N - mg \cos \theta + mg \cos \theta + m \omega^{2} R \sin^{2} \theta + 2 m \omega R \sin^{2} \theta \dot{ \phi}$
$m(R \ddot{ \theta} - R \sin \theta \cos \theta \dot{ \phi}^{2}) = mg \sin \theta + m \omega^{2} R \sin \theta \cos \theta + 2 m \omega R \sin \theta \cos \theta \dot{ \phi}$
$m(R \sin \theta \ddot{ \phi } + 2R \cos \theta \dot{ \theta} \dot{ \phi} ) = - 2 m \omega R \dot{ \theta} \cos \theta$
Из третьего уравнения получаем $\dot{ \phi} = - \omega$
Результат, легко понять, рассматривая движение в не вращающейся структуре. Исключая $\dot{ \phi}$, мы получим,
$mR \dot{ \theta}^{2} = mg \cos \theta - N$
$mR \ddot{ \theta} = mg \sin \theta$
Интегрируя последнее уравнение,
$\frac{1}{2} mR \dot{ \theta}^{2} = mg( 1 - \cos \theta)$
следовательно $N = (3 - 2 \cos \theta) mg$
Поэтому тело должно улететь при $\theta = \theta_{0} = \cos^{-1} \frac{2}{3}$, точно так же, как если бы шар был невращающимся. Тогда, в этой точке $F_{cf} = центробежная ~ сила = m \omega^{2} R \sin \theta = \sqrt{ \frac{5}{9}} m \omega^{2} R$
$F_{cor} = \sqrt{ \omega^{2} R^{2} \theta^{2} \cos^{2} \theta + ( \omega^{2} R^{2})^{2} \sin^{2} \theta} \times 2m = \sqrt{ \frac{5}{9} ( \omega^{2} R)^{2} + \omega^{2} R^{2} \times \frac{4}{9} \times \frac{2g}{3R}} \times 2m = \frac{2}{3} m \omega^{2} R \sqrt{5 + \frac{8g}{3 \omega^{2} R}}$
С вершины гладкой сферы радиуса $R = 1,00 м$ начинает соскальзывать небольшое тело массы $m = 0,30 кг$. Сфера вращается с постоянной угловой скоростью $\omega = 6,0 рад/с$ вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Найти в системе отсчета, связанной со сферой, центробежную силу инерции и силу Кориолиса в момент отрыва тела от поверхности сферы.
Решение:
Уравнение движения во вращающейся системе координат:
$m \vec{w}^{ \prime} = \vec{F} + m \omega^{2} \vec{R} + 2m ( \vec{v}^{ \prime} \times \vec{ \omega})$
Тогда, $\vec{v}^{ \prime} = R \dot{ \theta} \vec{e}_{ \theta} + R \sin \theta \dot{ \phi} \vec{e}_{ \phi}$
и $\vec{w}^{ \prime} = w^{ \prime} \cos \theta \vec{e}_{r} w^{ \prime} \sin \theta \vec{e}{ \theta}$
$\frac{1}{2m} \vec{F}_{cor} = \begin{bmatrix} \vec{e}_{r} & \vec{e}_{ \theta} & \vec{e}_{ \phi} \\ 0 & R \dot{ \theta} & R \sin \theta \dot{ \phi} \\ \omega \cos \phi & - \omega \sin \theta & 0 \end{bmatrix} = \vec{e}_{r} ( \omega R \sin^{2} \theta \dot{ \phi}) + \omega R \sin \theta \cos \theta \dot{ \phi} \vec{e}_{ \theta} - \omega R \theta \cos \theta \vec{e}_{ \theta}$
Тогда на сфере,
$\vec{v} = (- R \dot{ \theta}^{2} - R \sin^{2} \theta \phi^{2}) \vec{e}_{r} + (R \dot{ \theta} - R \sin \theta \cos \theta \dot{ \phi}^{2}) \vec{e}_{ \theta} + (R \sin \theta \ddot{ \phi} + 2R \cos \theta \dot{ \theta} \dot{ \phi}) \vec{e}_{ \phi}$
Таким образом, уравнение движения,
$m(- R \dot{ \theta}^{2} - R \sin^{2} \theta \dot{ \phi}^{2}) = N - mg \cos \theta + mg \cos \theta + m \omega^{2} R \sin^{2} \theta + 2 m \omega R \sin^{2} \theta \dot{ \phi}$
$m(R \ddot{ \theta} - R \sin \theta \cos \theta \dot{ \phi}^{2}) = mg \sin \theta + m \omega^{2} R \sin \theta \cos \theta + 2 m \omega R \sin \theta \cos \theta \dot{ \phi}$
$m(R \sin \theta \ddot{ \phi } + 2R \cos \theta \dot{ \theta} \dot{ \phi} ) = - 2 m \omega R \dot{ \theta} \cos \theta$
Из третьего уравнения получаем $\dot{ \phi} = - \omega$
Результат, легко понять, рассматривая движение в не вращающейся структуре. Исключая $\dot{ \phi}$, мы получим,
$mR \dot{ \theta}^{2} = mg \cos \theta - N$
$mR \ddot{ \theta} = mg \sin \theta$
Интегрируя последнее уравнение,
$\frac{1}{2} mR \dot{ \theta}^{2} = mg( 1 - \cos \theta)$
следовательно $N = (3 - 2 \cos \theta) mg$
Поэтому тело должно улететь при $\theta = \theta_{0} = \cos^{-1} \frac{2}{3}$, точно так же, как если бы шар был невращающимся. Тогда, в этой точке $F_{cf} = центробежная ~ сила = m \omega^{2} R \sin \theta = \sqrt{ \frac{5}{9}} m \omega^{2} R$
$F_{cor} = \sqrt{ \omega^{2} R^{2} \theta^{2} \cos^{2} \theta + ( \omega^{2} R^{2})^{2} \sin^{2} \theta} \times 2m = \sqrt{ \frac{5}{9} ( \omega^{2} R)^{2} + \omega^{2} R^{2} \times \frac{4}{9} \times \frac{2g}{3R}} \times 2m = \frac{2}{3} m \omega^{2} R \sqrt{5 + \frac{8g}{3 \omega^{2} R}}$
