Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3376
2017-05-20 
Небольшое тело поместили на вершину гладкого шара радиуса $R$. Затем шару сообщили в горизонтальном направлении постоянное ускорение $\vec{w}_{0}$, и тело начало скользить вниз. Найти:
а) скорость тела относительно шара в момент отрыва;
б) угол $\theta_{0}$ между вертикалью и радиус-вектором, проведенным из центра шара в точку, где происходит отрыв; вычислить $\theta_{0}$ при $\omega_{0} = g$.
Решение:
В задаче требуется вычислить скорость тела, относительно сферы, которая сама движется с ускорением $w_{0}$ в горизонтальном направлении (скажем, влево). Следовательно, видна возможность решить проблему в системе отсчета сферы (неинерциальная система отсчета).
В произвольный момент, когда тело находится под углом $\theta$ к вертикали, нарисуем все силы, действуюшие на тело, и напишем второй закон Ньютона в проекционной форме $F_{n} = mw_{n}$
Или, $mg \cos \theta - N - mw_{0} \sin \theta = \frac{mv^{2}}{R}$ (1)
В точке отрыва, $N = 0, \theta = \theta_{0}$ пусть $v = v_{0}$, уравнение (1) становится,
$\frac{v_{0}^{2}}{R} = g \cos \theta_{0} - w_{0} \sin \theta_{0}$ (2)
Из, $F_{t} = mw_{t}$
$mg \sin \theta - mw_{0} \cos \theta = m \frac{vdv}{ds} = m \frac{vdv}{R d \theta}$ Или, $vdv = R (g \sin \theta + w_{0} \cos \theta) d \theta$
Интегрируем, $\int_{0}^{v_{0}} vdv = \int_{0}^{ \theta_{0}} R (g \sin \theta + w_{0} \cos \theta) d \theta$
$\frac{v_{0}^{2}}{2R} = g ( 1 - \cos \theta_{0}) + w_{0} \sin \theta_{0}$ (3)
Заметим, что уравнение (3) также может быть получена из зависимости $A = \Delta T$ (в системе отсчета сферы)
следовательно, $mgR(1 - \cos \theta_{0}) + mw_{0} R \sin \theta_{0} = \frac{1}{2} mv_{0}^{2}$
[Здесь $mw_{0} R \sin \theta_{0}$ - работа, выполненная псевдосилой ($- m \vec{w}_{0}$)]
или, $\frac{v_{0}^{2}}{2R} = g (1 - \cos \theta_{0}) + w_{0} \sin \theta_{0}$
Решение уравнений (2) и (3) получаем,
$v_{0} = \sqrt{2gR/3}$ и $\theta_{0} = \cos^{-1} \left ( \frac{2 + k \sqrt{5 + 9k^{2}}}{3(1+k^{2})} \right )$, Где $k = \frac{w_{0}}{g}$
Следовательно $\theta_{0}|_{w_{0} = g} = 17^{ \circ}$
Небольшое тело поместили на вершину гладкого шара радиуса $R$. Затем шару сообщили в горизонтальном направлении постоянное ускорение $\vec{w}_{0}$, и тело начало скользить вниз. Найти:
а) скорость тела относительно шара в момент отрыва;
б) угол $\theta_{0}$ между вертикалью и радиус-вектором, проведенным из центра шара в точку, где происходит отрыв; вычислить $\theta_{0}$ при $\omega_{0} = g$.
Решение:
В задаче требуется вычислить скорость тела, относительно сферы, которая сама движется с ускорением $w_{0}$ в горизонтальном направлении (скажем, влево). Следовательно, видна возможность решить проблему в системе отсчета сферы (неинерциальная система отсчета).
В произвольный момент, когда тело находится под углом $\theta$ к вертикали, нарисуем все силы, действуюшие на тело, и напишем второй закон Ньютона в проекционной форме $F_{n} = mw_{n}$
Или, $mg \cos \theta - N - mw_{0} \sin \theta = \frac{mv^{2}}{R}$ (1)
В точке отрыва, $N = 0, \theta = \theta_{0}$ пусть $v = v_{0}$, уравнение (1) становится,
$\frac{v_{0}^{2}}{R} = g \cos \theta_{0} - w_{0} \sin \theta_{0}$ (2)
Из, $F_{t} = mw_{t}$
$mg \sin \theta - mw_{0} \cos \theta = m \frac{vdv}{ds} = m \frac{vdv}{R d \theta}$ Или, $vdv = R (g \sin \theta + w_{0} \cos \theta) d \theta$
Интегрируем, $\int_{0}^{v_{0}} vdv = \int_{0}^{ \theta_{0}} R (g \sin \theta + w_{0} \cos \theta) d \theta$
$\frac{v_{0}^{2}}{2R} = g ( 1 - \cos \theta_{0}) + w_{0} \sin \theta_{0}$ (3)
Заметим, что уравнение (3) также может быть получена из зависимости $A = \Delta T$ (в системе отсчета сферы)
следовательно, $mgR(1 - \cos \theta_{0}) + mw_{0} R \sin \theta_{0} = \frac{1}{2} mv_{0}^{2}$
[Здесь $mw_{0} R \sin \theta_{0}$ - работа, выполненная псевдосилой ($- m \vec{w}_{0}$)]
или, $\frac{v_{0}^{2}}{2R} = g (1 - \cos \theta_{0}) + w_{0} \sin \theta_{0}$
Решение уравнений (2) и (3) получаем,
$v_{0} = \sqrt{2gR/3}$ и $\theta_{0} = \cos^{-1} \left ( \frac{2 + k \sqrt{5 + 9k^{2}}}{3(1+k^{2})} \right )$, Где $k = \frac{w_{0}}{g}$
Следовательно $\theta_{0}|_{w_{0} = g} = 17^{ \circ}$
