Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3375
2017-05-20 
Цепочку длины $l$ поместили на гладкую сферическую поверхность радиуса $R$ так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. С каким ускорением но начнет двигаться каждый элемент цепочки, если ее верхний конец освободить? Предполагается, что длина цепочки $l < 1/2 \pi R$.
Решение:
Рассмотрим элемент длины $ds$ под углом $\phi$ от вертикального диаметра. Поскольку скорость этого элемента равна нулю в начальный момент времени, его центростремительное ускорение равно нулю, и, следовательно, $dN - \lambda ds \cos \phi = 0$, где $\lambda$ - линейная плотность массы цепи. Пусть $T$ и $T + dT$ напряжение на верхнем и нижнем концах $ds$, из $F_{t} = mw_{t}$ имеем,
$(T + dT) + \lambda ds g \sin \phi - T = \lambda ds w_{t}$
или, $dT + \lambda Rd \phi g \sin \phi = \lambda ds w_{t}$
Если просуммировать приведенное выше уравнение для всех элементов, то член $\int dT = 0$, поскольку на свободных концах нет натяжения, поэтому
$\lambda gR \int_{0}^{l/R} \sin \phi d \phi = \lambda w_{t} \int ds = \lambda l w_{t}$
Следовательно, $w_{t} = \frac{gR}{l} \left ( 1 - \cos \frac{l}{R} \right )$
Поскольку $w_{n} = a$ в начальный момент
Итак, $w = |w_{t}| = \frac{gR}{l} \left ( 1 - \cos \frac{l}{R} \right )$
Цепочку длины $l$ поместили на гладкую сферическую поверхность радиуса $R$ так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. С каким ускорением но начнет двигаться каждый элемент цепочки, если ее верхний конец освободить? Предполагается, что длина цепочки $l < 1/2 \pi R$.
Решение:
Рассмотрим элемент длины $ds$ под углом $\phi$ от вертикального диаметра. Поскольку скорость этого элемента равна нулю в начальный момент времени, его центростремительное ускорение равно нулю, и, следовательно, $dN - \lambda ds \cos \phi = 0$, где $\lambda$ - линейная плотность массы цепи. Пусть $T$ и $T + dT$ напряжение на верхнем и нижнем концах $ds$, из $F_{t} = mw_{t}$ имеем,
$(T + dT) + \lambda ds g \sin \phi - T = \lambda ds w_{t}$
или, $dT + \lambda Rd \phi g \sin \phi = \lambda ds w_{t}$
Если просуммировать приведенное выше уравнение для всех элементов, то член $\int dT = 0$, поскольку на свободных концах нет натяжения, поэтому
$\lambda gR \int_{0}^{l/R} \sin \phi d \phi = \lambda w_{t} \int ds = \lambda l w_{t}$
Следовательно, $w_{t} = \frac{gR}{l} \left ( 1 - \cos \frac{l}{R} \right )$
Поскольку $w_{n} = a$ в начальный момент
Итак, $w = |w_{t}| = \frac{gR}{l} \left ( 1 - \cos \frac{l}{R} \right )$
