ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-20   
Тело массы $m$ бросили вертикально вверх со скоростью $v_{0}$. Найти скорость $v^{ \prime}$, с которой тело упадет обратно, если сила сопротивления воздуха равна $kv^{2}$, где $k$ — постоянная, $v$ — скорость тела.


Решение:


При движении вверх, из второго закона Ньютона в вертикальном направлении

$m \frac{vdv}{ds} = - (mg + kv^{2})$ или $ \frac{vdv}{ \left ( g + \frac{kv^{2}}{m} \right )} = - ds$

На максимальной высоте $h$ скорость $v = 0$, поэтому

$\int_{v_{0}}^{0} \frac{vdv}{g + (kv^{2}/m)} = - \int_{0}^{h} ds$

Интегрируя и решая, получаем,

$h = \frac{m}{2k} ln \left ( 1 + \frac{kv_{0}^{2}}{mg} \right )$ (1)

Когда тело падает вниз, конечная сила, действующая на тело в направлении вниз, равна $(mg - kv^{2})$,
Следовательно, конечное ускорение при движении вниз, согласно второму закону движения

$\frac{vdv}{ds} = g - \frac{kv^{2}}{m}$ или, $\frac{vdv}{g - \frac{kv^{2}}{m}} = ds$

Таким образом, $\int_{0}^{v^{ \prime}} \frac{vdv}{g - kv^{2}/m} = \int_{0}^{h} ds$

Интегрируя и подставляя значение $h$ из (1), получаем:

$v^{ \prime} = \frac{v_{0}}{ \sqrt{1 + kv^{2}/mg}}$.