Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3370
2017-05-20 
Небольшой брусок начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Коэффициент трения зависит от пройденного пути $x$ по закону $k = ax$, где $a$ — постоянная. Найти путь, пройденный бруском до остановки, и максимальную скорость его на этом пути.
Решение:
Из второго закона Ньютона для бруска в проекции х: $F_{x} = mw_{x}$, получаем
$mg \sin \alpha - kmg \cos \alpha = mw$
или $v \frac{dv}{dx} = g \sin \alpha - ax g \cos \alpha$, (as $k= ax$),
или, $vdv = (g \sin \alpha - ax g \cos \alpha) dx$
или, $\int_{0}^{v} vdv = g \int_{0}^{x} ( \sin \alpha - x \cos \alpha ) dx$
Итак, $\frac{v^{2}}{2} = g ( \sin \alpha x - \frac{x^{2}}{2} a \cos \alpha) dx$ (1)
Из (1) $v = 0$ либо
$x = 0$, или $x = \frac{2}{a} tg \alpha$
Поскольку движение бруска является однонаправленным, оно останавливается после прохождения расстояния $\frac{2}{a} tg \alpha$.
Из (1), при $v_{max}$,
$\frac{d}{dx} \left ( \sin \alpha x - \frac{x^{2}}{2} a \cos \alpha \right ) = 0$, что дает $x = \frac{1}{a} tg \alpha$
Следовательно, максимальная скорость будет на расстоянии, $x = \frac{1}{a} tg \alpha$
Подставляя это значение $x$ в (1) получаем максимальную скорость,
$v_{max} = \sqrt{ \frac{g \sin \alpha tg \alpha}{a}}$
Небольшой брусок начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Коэффициент трения зависит от пройденного пути $x$ по закону $k = ax$, где $a$ — постоянная. Найти путь, пройденный бруском до остановки, и максимальную скорость его на этом пути.
Решение:
Из второго закона Ньютона для бруска в проекции х: $F_{x} = mw_{x}$, получаем
$mg \sin \alpha - kmg \cos \alpha = mw$
или $v \frac{dv}{dx} = g \sin \alpha - ax g \cos \alpha$, (as $k= ax$),
или, $vdv = (g \sin \alpha - ax g \cos \alpha) dx$
или, $\int_{0}^{v} vdv = g \int_{0}^{x} ( \sin \alpha - x \cos \alpha ) dx$
Итак, $\frac{v^{2}}{2} = g ( \sin \alpha x - \frac{x^{2}}{2} a \cos \alpha) dx$ (1)
Из (1) $v = 0$ либо
$x = 0$, или $x = \frac{2}{a} tg \alpha$
Поскольку движение бруска является однонаправленным, оно останавливается после прохождения расстояния $\frac{2}{a} tg \alpha$.
Из (1), при $v_{max}$,
$\frac{d}{dx} \left ( \sin \alpha x - \frac{x^{2}}{2} a \cos \alpha \right ) = 0$, что дает $x = \frac{1}{a} tg \alpha$
Следовательно, максимальная скорость будет на расстоянии, $x = \frac{1}{a} tg \alpha$
Подставляя это значение $x$ в (1) получаем максимальную скорость,
$v_{max} = \sqrt{ \frac{g \sin \alpha tg \alpha}{a}}$
