ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-07   
Катер массы $m$ движется по озеру со скоростью $v_{0}$. В момент $t = 0$ выключили его двигатель. Считая силу сопротивления воды движению катера пропорциональной его скорости $\vec{F} = - r \vec{v}$, найти:
а) время движения катера с выключенным двигателем;
б) скорость катера в зависимости от пути, пройденного с выключенным двигателем, а также полный путь до остановки;
в) среднюю скорость катера за время, в течение которого его начальная скорость уменьшится в п раз.


Решение:


(a) Из условия задачи $\vec{F} = - r \vec{v}$ $m \frac{d \vec{v}}{dt} = - r \vec{v}$

Таким образом, $m \frac{dv}{dt} = - rv$ ( при $d \vec{v} \uparrow \downarrow \vec{v}$ )

или $\frac{dv}{v} = - \frac{r}{m} dt$

При интегрировании $ln v = - \frac{r}{m} t + C$

Но при $t = 0, v = v_{0}$, итак, $C = ln v_{0}$

или, $ln \frac{v}{v_{0}} = - \frac{r}{m} t$ или, $v = v_{0} e^{ - \frac{r}{m} t}$

Таким образом, при $t \rightarrow \infty, v = 0$

(б) Имеем $m \frac{dv}{dt} = - rv$ so $dv = - \frac{r}{m} ds$

Интегрируя в заданных пределах для получения $v(s)$:

Или, $\int_{v_{}}^{v} dv = - \frac{r}{m} \int_{0}^{s} ds$ или $v = v_{0} - \frac{rs}{m}$ (1)

Таким образом, при $v = 0, s = s_{total} = \frac{mv_{0}}{r}$

(в) Пусть имеем $\frac{mdv}{v} = - rv$ или $\frac{dv}{v} = - \frac{r}{m} dt$

или, $\int_{0}^{v_{0} / \eta} \frac{dv}{v} = - \frac{r}{m} \int_{0}^{t} dt$ или, $ln \frac{v_{0}}{ \eta v_{0}} = - \frac{r}{m} t$

Так $t = \frac{- m ln(1 / \eta)}{r} = \frac{m ln \eta}{r}$

Теперь средняя скорость за этот интервал времени,

$\langle v \rangle = \frac{ \int v dt}{ \int dt} = \frac{ \int_{0}^{ \frac{m}{r} ln \eta} v_{0} e^{ - \frac{rt}{m}} dt}{ \frac{m}{r} ln \eta} = \frac{v_{0} ( \eta - 1)}{ \eta ln \eta}$