ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-07   
На покоившуюся частицу массы $m$ в момент $t = 0$ начала действовать сила, меняющаяся со временем по закону $\vec{F} = \vec{a} t ( \tau - t)$, где $\vec{a}$ — постоянный вектор, $\tau$ — время, в течение которого действует данная сила. Найти:
а) импульс частицы после окончания действия силы;
б) путь, пройденный частицей за время действия силы.


Решение:


Из уравнения данной силы в зависимости от времени $\vec{F} = \vec{a} t( \tau - t)$ при $t = \tau$ - пропадает

(а) таким образом $\Delta \vec{p} = \vec{p} = \int_{0}^{ \tau} \vec{F} dt$

или, $\vec{p} = \int_{0}^{ \tau} \vec{a} t ( \tau - t) dt \frac{ \vec{a} \tau^{3}}{6}$
Но $\vec{p} = m \vec{v}$, поэтому $\vec{v} = \frac{ \vec{a} \tau^{3}}{6m}$
(б) Опять из уравнения $\vec{F} = m \vec{w}$
$\vec{a} t ( \tau - t) = m \frac{d \vec{v}}{dt}$
Или, $\vec{a}( t \tau - t^{2}) dt = m d \vec{v}$

Интегрируя в пределах для $\vec{v}(t)$,

$\int_{0}^{t} \vec{a} (t \tau - t^{2}) dt = m \int_{0}^{ \vec{v}} d \vec{v}$

или, $\vec{v} = \frac{ \vec{a}}{m} \left ( \frac{ \tau t^{2}}{2} - \frac{ t^{3}}{3} \right ) = \frac{ \vec{a} t^{2}}{m} \left ( \frac{ \tau}{2} - \frac{t}{3} \right )$
Таким образом, $v = \frac{at^{2}}{m} \left ( \frac{ \tau}{2} - \frac{t}{3} \right )$ при $t \leq \tau$

Следовательно, расстояние, пройденное за время $t = \tau$,

$s = \int_{0}^{ \tau} v dt = \int_{0}^{ \tau} \frac{at^{2}}{m} \left ( \frac{ \tau}{2} - \frac{t}{3} \right ) dt = \frac{a}{m} \frac{ \tau^{4}}{12}$