ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-07   
Через закрепленный блок перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены грузы с массами $m_{1}$ и $m_{2}$. Между нитью и блоком имеется трение. Оно таково, что нить начинает скользить по блоку, когда отношение $m_{2} / m_{1} = \eta_{0}$. Найти:
а) коэффициент трения;
б) ускорение грузов, если $m_{2} / m_{1} = \eta > \eta_{0}$.


Решение:



Рассмотрим малый элемент нити и и силы действующие на этот элемент,
(а) Применяя второй закон Ньютона в проекционной форме, $F_{n} = mw_{n}$ для этого элемента,

$(T + dT) \sin ( d \theta /2) + T \sin ( d \theta /2) - dN = dm \omega^{2} R = 0$

Или, $2T \sin (d \theta /2) = dN$, (непересекающий элемент $(dT \sin d \theta /2 )$]

или $T d \theta = dN$ как $\sin \frac{ d \theta}{2} = \frac{d \theta}{2}$ (1)
Поскольку, $dfr = kdN = (T + dT) - T = dT$ (2)

Из уравнений (1) и (2),

$kT d \theta = dT$ или $\frac{dT}{T } = k d \theta$

В этом случае $Q = \pi$ so,

или, $ln \frac{T_{2}}{T_{1}} = k \pi$ (3)

Так, $k = \frac{1}{ \pi} ln \frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{1}{ \pi} ln \eta_{0}$
в виде $\frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{m_{2}g}{m_{1}g} = \frac{m_{2}}{m_{1}} = \eta_{0}$

(б) Когда $\frac{m_{2}}{m_{1}} = \eta$, которая больше, чем $\eta_{0}$, блоки будут двигаться с одинаковым значением ускорения, $w$ и, очевидно, $m_{2}$ движется вниз. Из второго закона Ньютона в проекционной форме (вниз для $m_{2}$ и вверх для $m_{1}$) получаем:

$m_{2}g - T_{2}= m_{2}w$ (4)
и $T_{1} - m_{1}g = m_{1}w$ (5)

Также $\frac{T_{2}}{T_{1}} = \eta_{0}$ (6)

Одновременное решение уравнений (4), (5) и (6) дает:

$w = \frac{(m_{2} - eta_{0} m_{1})g}{(m_{2} + \eta_{0} m_{1})} = \frac{ \eta - \eta_{0}}{( \eta + \eta_{0})} g$ (as $\frac{m_{2}}{m_{1}} = \eta$)