Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3359
2017-05-07 
Автомашина движется равномерно по горизонтальному пути, имеющему форму синусоиды $y = a \sin (x/a)$, где $a$ и $\alpha$ — некоторые постоянные. Коэффициент трения между колесами и дорогой равен $k$. При какой скорости движение автомашины будет происходить без скольжения?
Решение:
Поскольку автомобиль следует по кривой, поэтому максимальная скорость, с которой он может двигаться без скольжения в точке минимального радиуса кривизны, является искомой скоростью, и, очевидно, в этом случае трение покоя между автомобилем и дорогой является предельным.
Следовательно, из уравнения $F_{n} = mw$
$kmg \geq \frac{mv^{2}}{R}$ или $v \leq \sqrt{kRg}$
Поэтому $v_{max} = \sqrt{kR_{min}g}$. (1)
Мы знаем, что радиус кривизны кривой в любой точке (x, y) задается как,
$R = \left | \frac{[1 + (dy/dx)^{2}]^{3/2}}{(d^{2}y/dx^{2})} \right |$ (2)
Для данной кривой,
$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{ \alpha} \cos \left ( \frac{x}{ \alpha} \right )$ и $\frac{d^{2} y}{dx^{2}} = \frac{-a}{ \alpha^{2}} \sin \frac{x}{ \alpha}$
Подставляя это значение в (2), получим,
$R = \frac{[1 + (a^{2} / \alpha^{2}) \cos^{2} (x / \alpha )^{3/2}]}{(a / \alpha)^{2} \sin (x / \alpha)}$
Для минимума $R, \frac{x}{ \alpha} = \frac{ \pi}{2}$
и, следовательно, соответствующий радиус кривизны
$R_{min} = \frac{ \alpha^{2}}{a}$ (3)
Следовательно, из (1) и (2)
$v_{max} = \alpha \sqrt{ kg /a}$
Автомашина движется равномерно по горизонтальному пути, имеющему форму синусоиды $y = a \sin (x/a)$, где $a$ и $\alpha$ — некоторые постоянные. Коэффициент трения между колесами и дорогой равен $k$. При какой скорости движение автомашины будет происходить без скольжения?
Решение:
Поскольку автомобиль следует по кривой, поэтому максимальная скорость, с которой он может двигаться без скольжения в точке минимального радиуса кривизны, является искомой скоростью, и, очевидно, в этом случае трение покоя между автомобилем и дорогой является предельным.
Следовательно, из уравнения $F_{n} = mw$
$kmg \geq \frac{mv^{2}}{R}$ или $v \leq \sqrt{kRg}$
Поэтому $v_{max} = \sqrt{kR_{min}g}$. (1)
Мы знаем, что радиус кривизны кривой в любой точке (x, y) задается как,
$R = \left | \frac{[1 + (dy/dx)^{2}]^{3/2}}{(d^{2}y/dx^{2})} \right |$ (2)
Для данной кривой,
$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{ \alpha} \cos \left ( \frac{x}{ \alpha} \right )$ и $\frac{d^{2} y}{dx^{2}} = \frac{-a}{ \alpha^{2}} \sin \frac{x}{ \alpha}$
Подставляя это значение в (2), получим,
$R = \frac{[1 + (a^{2} / \alpha^{2}) \cos^{2} (x / \alpha )^{3/2}]}{(a / \alpha)^{2} \sin (x / \alpha)}$
Для минимума $R, \frac{x}{ \alpha} = \frac{ \pi}{2}$
и, следовательно, соответствующий радиус кривизны
$R_{min} = \frac{ \alpha^{2}}{a}$ (3)
Следовательно, из (1) и (2)
$v_{max} = \alpha \sqrt{ kg /a}$
