Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3356
2017-05-07 
Небольшое тело А начинает скользить с вершины гладкой сферы радиуса $R$. Найти угол $\theta$ (рис.), соответствующий точке отрыва тела от сферы, и скорость тела в момент отрыва.
Решение:
Изобразим силы, действующие на тело А (которые представляют собой силу тяжести $m \vec{g}$ и нормальную реакцию $\vec{N}$) и запишем уравнение $\vec{F} = m \vec{w}$ через проекцию на единичные векторы $\hat{u}_{t}$ и $\hat{u}_{n}$ (рис.).
Из $F_{t} = mw_{t}$
$mg \sin \theta = m \frac{dv}{dt} = m \frac{vdv}{ds} = m \frac{vdv}{R d \theta} $
Или $gR \sin \theta d \theta = vdv$
Интегрируя обе стороны для получения $v( \theta)$
$\int_{0}^{ \theta} gR \sin \theta d \theta = \int_{0}^{v} vdv$
или, $v^{2} = 2gR ( 1 - \cos \theta)$
Из $F_{n} = mw_{m}$
$mg \cos \theta - N = m \frac{v^{2}}{R}$
В тот момент, когда тело теряет контакт с поверхностью, $N = 0$ и, следовательно, уравнение (2) становится
$v^{2} = gR \cos \theta$ (3)
Где $v$ и $\theta$ соответствуют моменту, когда тело теряет контакт с поверхностью. Решение уравнений (1) и (3), получим $\cos \theta = \frac{2}{3}$ or, $\theta = \cos^{-1} (2/3)$ и $v = \sqrt{2gR/3}$.
Небольшое тело А начинает скользить с вершины гладкой сферы радиуса $R$. Найти угол $\theta$ (рис.), соответствующий точке отрыва тела от сферы, и скорость тела в момент отрыва.
Решение:
Изобразим силы, действующие на тело А (которые представляют собой силу тяжести $m \vec{g}$ и нормальную реакцию $\vec{N}$) и запишем уравнение $\vec{F} = m \vec{w}$ через проекцию на единичные векторы $\hat{u}_{t}$ и $\hat{u}_{n}$ (рис.).
Из $F_{t} = mw_{t}$
$mg \sin \theta = m \frac{dv}{dt} = m \frac{vdv}{ds} = m \frac{vdv}{R d \theta} $
Или $gR \sin \theta d \theta = vdv$
Интегрируя обе стороны для получения $v( \theta)$
$\int_{0}^{ \theta} gR \sin \theta d \theta = \int_{0}^{v} vdv$
или, $v^{2} = 2gR ( 1 - \cos \theta)$
Из $F_{n} = mw_{m}$
$mg \cos \theta - N = m \frac{v^{2}}{R}$
В тот момент, когда тело теряет контакт с поверхностью, $N = 0$ и, следовательно, уравнение (2) становится
$v^{2} = gR \cos \theta$ (3)
Где $v$ и $\theta$ соответствуют моменту, когда тело теряет контакт с поверхностью. Решение уравнений (1) и (3), получим $\cos \theta = \frac{2}{3}$ or, $\theta = \cos^{-1} (2/3)$ и $v = \sqrt{2gR/3}$.
