ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-07   
Шарик, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости так, что его ускорения в крайнем и нижнем положениях равны по модулю друг другу. Найти угол отклонения нити в крайнем положении.


Решение:



Мяч имеет только нормальное ускорение в самом низком положении и только касательное ускорение в любом крайнем положении. Пусть $v$ - скорость шара в его самом низком положении и $l$ - длина нити, тогда согласно задаче

$\frac{v^{2}}{l} = g \sin \alpha$ (1)

Где $\alpha$ - максимальный угол отклонения

закон Ньютона в проекционной форме: $F_{t} = mw_{t}$

$- mg \sin \theta = mv \frac{dv}{l d \theta}$
Или, $- gl \sin \theta d \theta = vdv$

Интегрированием обеих сторон в их пределах.

$-gl \int_{0}^{ \alpha} \sin \theta d \theta = \int_{v}^{0} vdv$

Или, $v^{2} = 2gl (1 - \cos \alpha)$ (2)

Примечание. Уравнение (2) легко получить, рассматривая механическую энергию шара в однородном поле тяжести. Из уравнений (1) и (2) с $\theta = \alpha$
$2gl (1 - \cos \alpha) = lg \cos \alpha$
или, $\cos \alpha = \frac{2}{3}$ итак $\alpha = 53^{ \circ}$