ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-07   
Небольшой шарик массы $m$, подвешенный на нити, отвели в сторону так, что нить образовала прямой угол с вертикалью, и затем отпустили. Найти:
а) полное ускорение шарика и натяжение нити в зависимости от $\theta$ — угла отклонения нити от вертикали;
б) натяжение нити в момент, когда вертикальная составляющая скорости шарика максимальна;
в) угол $\theta$ между нитью и вертикалью в момент, когда вектор полного ускорения шарика направлен горизонтально.


Решение:



Изобразим силы, действующие на шарик $m$, (в произвольном положении, когда нить делает угол $\theta$ от вертикали) и запишем уравнение $\vec{F} = m \vec{w}$ через проекцию на единичные векторы $\hat{u}_{t}$ и $\hat{u}_{n}$. Из $F_{t} = m w_{t}$, имеем:

$mg \sin \theta = m \frac{dv}{dt} = m \frac{vdv}{ds} = m \frac{vdv}{l(- d \theta)}$

(Так как вертикаль отношение линии к угловому положению)
Или $v dv = - gl \sin \theta d \theta$

Интегрируя обе стороны:

$\int_{0}^{v} vdv = - gl \int_{ \pi/2}^{ \theta} \sin \theta d \theta$
или, $\frac{v^{2}}{2} = gl \cos \theta$

Следовательно, $\frac{v^{2}}{l} = 2g \cos \theta = w_{n}$ (1)

(Уравнение (1) может быть легко получено путем применения закона сохранения механической энергии).
Из $F_{n} = mw_{n}$
$T - mg \cos \theta = \frac{mv^{2}}{l}$

Используя (1), имеем

$T = 3 mg \cos \theta$ (2)

Опять из уравнения. $F_{t} = mw_{t}$:
$mg \sin \theta = mw_{t}$ или $w_{t} = g \sin \theta$ (3)

Следовательно, $w = \sqrt{ w_{t}^{2} + w_{n}^{2}} = \sqrt{ ( g \sin \theta)^{2} + (2g \cos \theta)^{2}}$ (с использованием 1 и 3) $= g \sqrt{1 + 3 \cos^{2} \theta}$

(б) Вертикальная составляющая скорости $v_{y} = v \sin \theta$

Таким образом, $v_{y}^{2} = v^{2} \sin^{2} \theta = 2gl \cos \theta \sin^{2} \theta$ (используя 1)

Для максимума, $v_{y}$ или $v_{y}^{2}, \frac{d ( \cos \theta \sin^{2} \theta)}{d \theta} = 0$

которое дает $\cos \theta = \frac{1}{ \sqrt{3}}$

Поэтому из (2) $T = 3mg \frac{1}{ \sqrt{3}} = \sqrt{3} mg$

(в) Итак, $\vec{w} = w_{t} \hat{u}_{t} + w_{n} \hat{u}_{n}$, таким образом, $w_{y} = w_{t(y)} + w_{n(y)}$

Но в соответствии с задачей $w_{y} = 0$,

$w_{t(y)} + w_{n(y)} = 0$
или, $g \sin \theta \sin \theta + 2 g \cos^{2} \theta ( - \cos \theta) = 0$
или, $ \cos \theta = \frac{1}{ \sqrt{3}} $ или, $\theta = 54,7^{ \circ}$