ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-07   
Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы с массами $m_{1}$ и $m_{2}$. Кабина начинает подниматься с ускорением $\vec{w}_{0}$. Пренебрегая массами блока и нити, а также трением, найти:
а) ускорения груза $m_{1}$ относительно шахты лифта и относительно кабины;
б) силу, с которой блок действует на потолок кабины.


Решение:



Запишем второй закон Ньютона в векторной форме $\vec{F} = m \vec{w}$ для обоих блоков (в системе отсчета Земли).

$\vec{T} + m_{1} \vec{g} = m_{1} \vec{w}_{1}$ (1)
$\vec{T} + m_{2} \vec{g} = m_{2} \vec{w}_{2}$ (2)

Эти два уравнения содержат три неизвестных Величин $\vec{w}_{1}, \vec{w}_{2}$ и $\vec{T}$. Третье уравнение указывает кинематическую связь между ускорениями:

$\vec{w}_{1} = \vec{w}_{0} + \vec{w}^{ \prime}, \vec{w}_{2} = \vec{w}_{0} - \vec{w}^{ \prime}$ (3)

Где $\vec{w}^{ \prime}$ - это ускорение массы $m_{1}$ относительно блока или кабины лифта. Суммируя по левую или правые части этих кинематических уравнений, получим

$\vec{w}_{1} + \vec{w}_{2} = 2 \vec{w}_{0}$ (4)

Совместное решение уравнений (1), (2) и (4) дает

$\vec{w}_{1} = \frac{(m_{1} - m_{2}) \vec{g} + 2m_{2} \vec{w}_{0}}{m_{1} + m_{2}}$

Используя этот результат в уравнении. (3), получим,

$\vec{w}^{ \prime} = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} ( \vec{g} - \vec{w}_{0})$ и $ \vec{T} = \frac{2m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}} ( \vec{w}_{0} - \vec{g})$

Используя результаты в уравнении (3) получаем $\vec{w}^{ \prime} = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} ( \vec{g} - \vec{w}_{0})$

(б) очевидно, сила, действующая на блок, сцепленный с потолком

$\vec{F} = - 2 \vec{T} = \frac{4m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}} ( \vec{g} - \vec{w}_{0})$

Примечание: эту проблему можно решить и в системе отсчета лифта.