ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-07   
На наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha$ с горизонтом, поместили два соприкасающихся бруска 1 и 2 (рис.). Массы брусков равны $m_{1}$ и $m_{2}$, коэффициенты трения между наклонной плоскостью и этими брусками — соответственно $k_{1}$ и $k_{2}$, причем $k_{1} > k_{2}$. Найти:
а) силу взаимодействия между брусками в процессе движения;
б) минимальное значение угла $\alpha$, при котором начнется скольжение.



Решение:



Направим положительное направление оси х вдоль уклона (рис.). На рисунках показана диаграмма сил для брусков.

Пусть $R$ - сила взаимодействия между брусками, и они, очевидно, скользят вниз с тем же постоянным ускорением $w$.

Второй закон Ньютона движения в проекции вдоль оси x для брусков дает:

$m_{1} g \sin \alpha - k_{1}m_{1} g \cos \alpha + R = m_{1}w$ (1)
$m_{2} g \sin \alpha - R - k_{2}m_{2}g \cos \alpha = m_{2} w$ (2)

Решая уравнения (1) и (2) одновременно, получим

$w = g \sin \alpha - g \cos \alpha \frac{k_{1}m_{1} + k_{2}m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ и $R = \frac{m_{1}m_{2}(k_{1} - k_{2})g \cos \alpha}{m_{1} + m_{2}}$ (3)

(б) когда бруски просто скользят вниз по плоскости, $w = 0$, то из уравнения (3)

$g \sin \alpha - g \cos \alpha \frac{k_{1}m_{1} + k_{2}m_{2}}{m_{1} + m_{2}} = 0$
Или, $(m_{1} + m_{2}) \sin \alpha = ( k_{1}m_{1} + k_{2} m_{2}) \cos \alpha$
Следовательно, $tg \alpha = \frac{(k_{1}m_{1} + k_{2}m_{2})}{m_{1} + m_{2}}$