Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3225
2017-05-07 
Круглый конус с углом полураствора $\alpha = 30^{ \circ}$ и радиусом основания $R = 5,0 см$ катится равномерно без скольжения по горизонтальной плоскости, как показано на рис.. Вершина конуса закреплена шарнирно в точке О, которая находится на одном уровне с точкой С — центром основания конуса. Скорость точки С $v = 10,0 см/с$. Найти модули:
а) вектора угловой скорости конуса и угол; который составляет этот вектор с вертикалью;
б) вектора углового ускорения конуса.
Решение:
(a) Пусть ось конуса (OC) вращается в направлении против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью $\vec{ \omega}^{ \prime}$ а сам конус вокруг собственной оси (OC) по часовой стрелке с угловой скоростью $\vec{ \omega}_{0}$ (рис.). Тогда получается угловая скорость конуса.
$\vec{ \omega} = \vec{ \omega}^{ \prime} + \vec{ \omega}_{0}$ (1)
При вращении величина векторов $\vec{ \omega}^{ \prime}$ и $\vec{ \omega}_{0}$ легко найти из рис.
$\omega^{ \prime} = \frac{v}{R ctg \alpha}, \omega_{0} = v/R$ (2)
Что касается $\vec{ \omega}^{ \prime}$, то из (1) и (2)
$\omega = \sqrt{ \omega^{ \prime 2} + \omega_{0}^{2}}$
$\sqrt{ \left ( \frac{v}{R ctg \alpha} \right )^{2} + \left ( \frac{v}{R} \right )^{2}} = \frac{v}{R \cos \alpha} = 2,3 рад / с$
(б) Вектор углового ускорения
$\vec{ \beta} = \frac{d \vec{ \omega}}{dt} = \frac{ d( \vec{ \omega} + \vec{ \omega}_{0})}{dt}$ (как $\vec{ \omega} = const$).
Вектор $\vec{ \omega}_{0}$, который вращается вокруг оси $OO^{ \prime}$ с угловой скоростью, сохраняет величину $\vec{ \omega}^{ \prime}$. Это увеличение в интервале времени $dt$ равно
$| d \vec{ \omega}_{0} | = \omega_{0} \cdot \omega^{ \prime} dt$ или в векторной форме $d \vec{ \omega}_{0} = ( \vec{ \omega}^{ \prime} \times \vec{ \omega}_{0}) dt$.
Таким образом, $\vec{ \beta} = \vec{ \omega}^{ \prime} \times \vec{ \omega}_{0}$ (3)
Величина вектора $\vec{ \beta}$ равна
$\beta = \omega^{ \prime} \omega_{0}$ (при $\vec{ \omega}^{ \prime} \perp \vec{ \omega}_{0}$)
Итак, $\beta = \frac{v}{R ctg \alpha} \frac{v}{R} = \frac{v^{2}}{R^{2}} tg \alpha = 2,3 рад/c$
Круглый конус с углом полураствора $\alpha = 30^{ \circ}$ и радиусом основания $R = 5,0 см$ катится равномерно без скольжения по горизонтальной плоскости, как показано на рис.. Вершина конуса закреплена шарнирно в точке О, которая находится на одном уровне с точкой С — центром основания конуса. Скорость точки С $v = 10,0 см/с$. Найти модули:
а) вектора угловой скорости конуса и угол; который составляет этот вектор с вертикалью;
б) вектора углового ускорения конуса.
Решение:
(a) Пусть ось конуса (OC) вращается в направлении против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью $\vec{ \omega}^{ \prime}$ а сам конус вокруг собственной оси (OC) по часовой стрелке с угловой скоростью $\vec{ \omega}_{0}$ (рис.). Тогда получается угловая скорость конуса.
$\vec{ \omega} = \vec{ \omega}^{ \prime} + \vec{ \omega}_{0}$ (1)
При вращении величина векторов $\vec{ \omega}^{ \prime}$ и $\vec{ \omega}_{0}$ легко найти из рис.
$\omega^{ \prime} = \frac{v}{R ctg \alpha}, \omega_{0} = v/R$ (2)
Что касается $\vec{ \omega}^{ \prime}$, то из (1) и (2)
$\omega = \sqrt{ \omega^{ \prime 2} + \omega_{0}^{2}}$
$\sqrt{ \left ( \frac{v}{R ctg \alpha} \right )^{2} + \left ( \frac{v}{R} \right )^{2}} = \frac{v}{R \cos \alpha} = 2,3 рад / с$
(б) Вектор углового ускорения
$\vec{ \beta} = \frac{d \vec{ \omega}}{dt} = \frac{ d( \vec{ \omega} + \vec{ \omega}_{0})}{dt}$ (как $\vec{ \omega} = const$).
Вектор $\vec{ \omega}_{0}$, который вращается вокруг оси $OO^{ \prime}$ с угловой скоростью, сохраняет величину $\vec{ \omega}^{ \prime}$. Это увеличение в интервале времени $dt$ равно
$| d \vec{ \omega}_{0} | = \omega_{0} \cdot \omega^{ \prime} dt$ или в векторной форме $d \vec{ \omega}_{0} = ( \vec{ \omega}^{ \prime} \times \vec{ \omega}_{0}) dt$.
Таким образом, $\vec{ \beta} = \vec{ \omega}^{ \prime} \times \vec{ \omega}_{0}$ (3)
Величина вектора $\vec{ \beta}$ равна
$\beta = \omega^{ \prime} \omega_{0}$ (при $\vec{ \omega}^{ \prime} \perp \vec{ \omega}_{0}$)
Итак, $\beta = \frac{v}{R ctg \alpha} \frac{v}{R} = \frac{v^{2}}{R^{2}} tg \alpha = 2,3 рад/c$
