ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-07   
Шар радиуса $R = 10,0 см$ катится без скольжения по горизонтальной плоскости так, что его центр движется с постоянным ускорением $w = 2,50 см/с^{2}$. Через $t = 2,00 с$ после начала движения его положение соответствует рис.. Найти:
а) скорости точек А, В и О;
б) ускорения этих точек.


Решение:


Зафиксируем координатную ось xyz, как показано на рис. Поскольку шарик катится без скольжения по жесткой поверхности, поэтому на основе решения задачи 3320:

$\begin{cases} \vec{v}_{0} = \vec{v}_{c} + \vec{ \omega} \times \vec{r}_{OC} = 0, \\ v_{C} = \omega R, и ~ \vec{ \omega} \uparrow \uparrow (- \vec{k}) ~ как~ \vec{v}_{c} \uparrow \uparrow \vec{i} \end{cases}$ (1)

и $\begin{cases} \vec{ \omega}_{C} + \vec{ \beta} \times \vec{r}_{OC} = 0, \\ v_{C} = \beta R, и ~ \vec{ \beta} \uparrow \uparrow (- \vec{k}) ~ как~ \vec{w}_{c} \uparrow \uparrow \vec{i} \end{cases}$

В положении, соответствующем положению на рис., по условию задачи

$w_{c} = w$, а также $v_{c} = wt$

И $\omega = \frac{v_{c}}{R} = \frac{wt}{R}$ и $\beta = \frac{w}{R}$ (используя 1)


(a) Зафиксируем систему координат с системой отсчета, прикрепленной к неподвижной поверхности, как показано на рис. Так как точка O - мгновенный центр вращения шара в момент, показанный на рис. Так что

$\vec{v}_{0} = 0$,
Получаем, $\vec{v}_{A} = \vec{v}_{C} + \vec{ \omega} \times \vec{r}_{AC} = v_{C} \vec{i} + \omega (- \vec{k}) \times R ( \vec{j}) = (v_{C} + \omega R) \vec{i}$

$\vec{v}_{A} = 2v_{C} \vec{i} =2w t \vec{i}$ (используя 1)

Так же $\vec{v}_{B} = \vec{v}_{C} + \vec{ \omega} \times \vec{r}_{BC} = v_{C} \vec{i} + \omega ( - \vec{k}) \times R ( \vec{i}) = v_{C} \vec{i} + \omega R (- \vec{j}) = v_{C} \vec{i} + v_{C} (- \vec{j})$

Таким образом, $\vec{v}_{B} = \sqrt{2} ~ v_{c} = \sqrt{2}$ и $\vec{v}_{B}$ находится под углом $45^{ \circ}$ к $\vec{i}$, и $\vec{j}$ (Рис.)


(б) $\vec{w}_{0} = \vec{w}_{C} + \omega^{2} ( - \vec{r}_{OC}) + \vec{ \beta} \times \vec{r}_{OC} = \omega^{2} (- \vec{r}_{OC}) = \frac{v_{C}^{2}}{R} (- \hat{u}_{OC})$ (используя 1)

Где $\hat{u}_{OC}$ - единичный вектор вдоль $\vec{r}_{OC}$ таким образос, $w_{0} = \frac{ v_{0}^{2}}{R} = \frac{ w^{2} t^{2}}{R}$ (используя 2), а $\vec{w}_{0}$ направлен к центру шара. А $\vec{w}_{A} = \vec{w}_{C} + \omega^{2} (- \vec{r}_{AC}) + \vec{ \beta} \times \vec{r}_{AC} = w \vec{i} + \omega^{2} R ( - \vec{j}) + \beta ( - \vec{k}) \times R \vec{j} = (w + \beta R) \vec{i} + \frac{v_{c}^{2}}{R} ( - \vec{j})$ (используя 1) $= 2 w \vec{i} + \frac{w^{2} t^{2}}{R} ( - \vec{j})$

Таким образом, $w_{A} = \sqrt{4w^{2} + \frac{w^{4}t^{4}}{R^{2}}} = 2w \sqrt{ 1 + \left ( \frac{wt^{2}}{2R} \right )^{2}}$

по аналогии $\vec{w}_{B} = \vec{w}_{C} + \omega^{2} (- \vec{r}_{BC}) + \vec{ \beta} \times \vec{r}_{AB} = w \vec{i} + \omega^{2} R ( - \vec{i}) + \beta ( - \vec{k}) \times R( \vec{i}) = \left ( v - \frac{v_{C}^{2}}{R} \right ) \vec{i} + \beta R ( - \vec{j})$ (используя 1)
$ = \left ( w - \frac{w^{2}t^{2}}{R} \right ) \vec{i} + w ( - \vec{j})$ (используя 2)
Получаем, $w_{B} = \sqrt{ \left ( w - \frac{w^{2}t^{2}}{R} \right )^{2} + w^{2}}$