Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3320
2017-05-07 
Точка А находится на ободе колеса радиуса $R = 0,50 м$, которое катится без скольжения по горизонтальной поверхности со скоростью $v = 1,00 м/с$ Найти:
а) модуль и направление вектора ускорения точки А;
б) полный путь $s$, проходимый точкой А между двумя последовательными моментами ее касания поверхности.
Решение:
Плоское движение твердого тела можно представить как комбинацию смещения центра масс и вращение вокруг центра масс.
Таким образом, мы можем написать $\vec{v}_{A} = \vec{v}_{C} + \vec{v}_{AC} = \vec{v}_{C} + \vec{ \omega} \times \vec{r}_{AC}$ (1) и $\vec{w}_{A} = \vec{w}_{C} + \vec{w}_{AC} = \vec{w}_{C} + \omega^{2} (- \vec{r}_{AC}) + ( \vec{ \beta} \times \vec{r}_{AC})$ (2)
$\vec{r}_{AC}$ - положение вектора A относительно C. В задаче $v_{C} = v = const$ и вращение без скольжения, т.е. $v_{C} = v = \omega R$, таким образом, $w_{C} = 0$ и $\beta = 0$. Используя эти условия в уравнении (2)
$\vec{w}_{A} = \omega^{2} ( - \vec{r}_{AV}) = \omega^{2} R (- \hat{u}_{AC}) = \frac{v^{2}}{R} ( - \hat{u}_{AC})$
Здесь $\hat{u}_{AC}$ - единичный вектор, направленный вдоль $\vec{r}_{AC}$.
Следовательно, $w_{A} = \frac{v^{2}}{R}$ и $\vec{w}_{A}$ направлен вдоль $(- \hat{u}_{AC}$) или направлены к центру колеса.
(б) Пусть центр колеса движется вправо (положительная ось x), тогда на жесткой горизонтальной поверхности колесо должно вращаться в направлении по часовой стрелке. Если $\omega$ угловая скорость колеса, то $\omega = \frac{v_{C}}{R} = \frac{v}{R}$.
Пусть точка A касается горизонтальной поверхности при $t = 0$, далее определим точку A в точке $t = t$,
Когда это происходит $\theta = \omega t$ в центре колеса. Из уравнения (1) $\vec{v}_{A} = \vec{v}_{C} + \vec{ \omega} \times \vec{r}_{AC} = v \vec{i} + \omega ( - \vec{k}) \times [R \cos \theta (- \vec{j}) + R \sin \theta (- \vec{i})]$
или, $\vec{v}_{A} = v \vec{i} + \omega R [ \cos \omega t (- \vec{i}) + \sin \omega t \vec{j} ] = (v - \cos \omega t) \vec{i} + v \sin \omega t \vec{j}$ ( $v = \omega R$)
Таким образом, $v_{A} = \sqrt{(v - v \cos \omega t)^{2} + (v \sin \omega t)^{2}} = v \sqrt{2(1- \cos \omega t)} = 2v \sin ( \omega t/2)$.
Следовательно, расстояние, на которое покрывается точка A при $T = 2 \pi / \omega$
$s = \int v_{A} dt = \int_{0}^{2 \pi / \omega} 2 v \sin ( \omega t/2 ) dt = \frac{8v}{ \omega} = 8R$.
Точка А находится на ободе колеса радиуса $R = 0,50 м$, которое катится без скольжения по горизонтальной поверхности со скоростью $v = 1,00 м/с$ Найти:
а) модуль и направление вектора ускорения точки А;
б) полный путь $s$, проходимый точкой А между двумя последовательными моментами ее касания поверхности.
Решение:
Плоское движение твердого тела можно представить как комбинацию смещения центра масс и вращение вокруг центра масс.
Таким образом, мы можем написать $\vec{v}_{A} = \vec{v}_{C} + \vec{v}_{AC} = \vec{v}_{C} + \vec{ \omega} \times \vec{r}_{AC}$ (1) и $\vec{w}_{A} = \vec{w}_{C} + \vec{w}_{AC} = \vec{w}_{C} + \omega^{2} (- \vec{r}_{AC}) + ( \vec{ \beta} \times \vec{r}_{AC})$ (2)
$\vec{r}_{AC}$ - положение вектора A относительно C. В задаче $v_{C} = v = const$ и вращение без скольжения, т.е. $v_{C} = v = \omega R$, таким образом, $w_{C} = 0$ и $\beta = 0$. Используя эти условия в уравнении (2)
$\vec{w}_{A} = \omega^{2} ( - \vec{r}_{AV}) = \omega^{2} R (- \hat{u}_{AC}) = \frac{v^{2}}{R} ( - \hat{u}_{AC})$
Здесь $\hat{u}_{AC}$ - единичный вектор, направленный вдоль $\vec{r}_{AC}$.
Следовательно, $w_{A} = \frac{v^{2}}{R}$ и $\vec{w}_{A}$ направлен вдоль $(- \hat{u}_{AC}$) или направлены к центру колеса.
(б) Пусть центр колеса движется вправо (положительная ось x), тогда на жесткой горизонтальной поверхности колесо должно вращаться в направлении по часовой стрелке. Если $\omega$ угловая скорость колеса, то $\omega = \frac{v_{C}}{R} = \frac{v}{R}$.
Пусть точка A касается горизонтальной поверхности при $t = 0$, далее определим точку A в точке $t = t$,
Когда это происходит $\theta = \omega t$ в центре колеса. Из уравнения (1) $\vec{v}_{A} = \vec{v}_{C} + \vec{ \omega} \times \vec{r}_{AC} = v \vec{i} + \omega ( - \vec{k}) \times [R \cos \theta (- \vec{j}) + R \sin \theta (- \vec{i})]$
или, $\vec{v}_{A} = v \vec{i} + \omega R [ \cos \omega t (- \vec{i}) + \sin \omega t \vec{j} ] = (v - \cos \omega t) \vec{i} + v \sin \omega t \vec{j}$ ( $v = \omega R$)
Таким образом, $v_{A} = \sqrt{(v - v \cos \omega t)^{2} + (v \sin \omega t)^{2}} = v \sqrt{2(1- \cos \omega t)} = 2v \sin ( \omega t/2)$.
Следовательно, расстояние, на которое покрывается точка A при $T = 2 \pi / \omega$
$s = \int v_{A} dt = \int_{0}^{2 \pi / \omega} 2 v \sin ( \omega t/2 ) dt = \frac{8v}{ \omega} = 8R$.
