Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3319
2017-05-07 
Вращающийся диск (рис.) движется в положительном направлении оси х. Найти уравнение $y(x)$, характеризующее положения мгновенной оси вращения, если в начальный момент ось С диска находилась в точке О и в дальнейшем движется:
а) с постоянной скоростью $v$, а диск раскручивается без начальной угловой скорости с постоянным угловым ускорением $\beta$ против часовой стрелки;
б) с постоянным ускорением $w$ (без начальной скорости), а диск вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ против часовой стрелки.
Решение:
Вращающийся диск движется вдоль оси х в плоскости х - у. Плоское движение твердого тела можно представить как чистое вращение вокруг точки $I$ в определенный момент, известный как мгновенный центр вращения. Мгновенная ось, положительный смысл которой направлен вдоль $\vec{ \omega}$ твердого тела и которая проходит через точку $I$, называется мгновенной осью вращения.
Поэтому вектор скорости произвольной точки (Р) твердого тела можно представить в следующем виде:
$\vec{v}_{p} = \vec{ \omega} \times \vec{r_{PI}}$ (1)
На основании формулы. (1) для центр масс (в) диска
$\vec{v}_{c} = \vec{ \omega} \times \vec{ r}_{cI}$ (2)
В соответствии с условием задачи $\vec{v}_{c} \uparrow \uparrow \vec{i}$ и $\vec{ \omega} \uparrow \uparrow \vec{k}$ $\vec{ \omega} \perp x - y$ - плоскость, которая удовлетворяет уравнению (2) $\vec{r}_{CI}$ направлен вдоль $(- \vec{j})$. Следовательно, точка $I$ находится на расстоянии $r_{CI} = y$, выше центра диска вдоль оси y. Используя все эти факты в уравнении (2), получим
$v_{C} = \omega y$ или $y = \frac{ v_{C}}{ \omega}$ (3)
(a) Из углового кинематического уравнения
$\omega_{z} = \omega_{Oz} + \beta_{z}t$ (4)
$\omega = \beta t$.
С другой стороны, $x = vt$ (где $x$ - координата $x$ центра масс).
или, $t = \frac{x}{v}$ (5)
Из уравнений (4) и (5), $\omega = \frac{ \beta x}{v}$
Используя это значение $\omega$ в уравнении (3) получим $y = \frac{v_{C}}{ \omega} = \frac{v}{ \beta x/v} = \frac{v^{2}}{ \beta x}$ (Гипербола)
(б) Поскольку центр С движется с постоянным ускорением $w$, с нулевой начальной скоростью
Имеем $x = \frac{1}{2} w t^{2}$ и $v_{C} = wt$
Следовательно, $v_{C} = w \sqrt{ \frac{2x}{ \omega}} = \sqrt{2x w}$
следовательно $y = \frac{v_{C}}{ \omega} = \frac{ \sqrt{2wx}}{ \omega}$ (парабола)
Вращающийся диск (рис.) движется в положительном направлении оси х. Найти уравнение $y(x)$, характеризующее положения мгновенной оси вращения, если в начальный момент ось С диска находилась в точке О и в дальнейшем движется:
а) с постоянной скоростью $v$, а диск раскручивается без начальной угловой скорости с постоянным угловым ускорением $\beta$ против часовой стрелки;
б) с постоянным ускорением $w$ (без начальной скорости), а диск вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ против часовой стрелки.
Решение:
Вращающийся диск движется вдоль оси х в плоскости х - у. Плоское движение твердого тела можно представить как чистое вращение вокруг точки $I$ в определенный момент, известный как мгновенный центр вращения. Мгновенная ось, положительный смысл которой направлен вдоль $\vec{ \omega}$ твердого тела и которая проходит через точку $I$, называется мгновенной осью вращения.
Поэтому вектор скорости произвольной точки (Р) твердого тела можно представить в следующем виде:
$\vec{v}_{p} = \vec{ \omega} \times \vec{r_{PI}}$ (1)
На основании формулы. (1) для центр масс (в) диска
$\vec{v}_{c} = \vec{ \omega} \times \vec{ r}_{cI}$ (2)
В соответствии с условием задачи $\vec{v}_{c} \uparrow \uparrow \vec{i}$ и $\vec{ \omega} \uparrow \uparrow \vec{k}$ $\vec{ \omega} \perp x - y$ - плоскость, которая удовлетворяет уравнению (2) $\vec{r}_{CI}$ направлен вдоль $(- \vec{j})$. Следовательно, точка $I$ находится на расстоянии $r_{CI} = y$, выше центра диска вдоль оси y. Используя все эти факты в уравнении (2), получим
$v_{C} = \omega y$ или $y = \frac{ v_{C}}{ \omega}$ (3)
(a) Из углового кинематического уравнения
$\omega_{z} = \omega_{Oz} + \beta_{z}t$ (4)
$\omega = \beta t$.
С другой стороны, $x = vt$ (где $x$ - координата $x$ центра масс).
или, $t = \frac{x}{v}$ (5)
Из уравнений (4) и (5), $\omega = \frac{ \beta x}{v}$
Используя это значение $\omega$ в уравнении (3) получим $y = \frac{v_{C}}{ \omega} = \frac{v}{ \beta x/v} = \frac{v^{2}}{ \beta x}$ (Гипербола)
(б) Поскольку центр С движется с постоянным ускорением $w$, с нулевой начальной скоростью
Имеем $x = \frac{1}{2} w t^{2}$ и $v_{C} = wt$
Следовательно, $v_{C} = w \sqrt{ \frac{2x}{ \omega}} = \sqrt{2x w}$
следовательно $y = \frac{v_{C}}{ \omega} = \frac{ \sqrt{2wx}}{ \omega}$ (парабола)
