Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3318
2017-05-07 
Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением $\vec{ \beta} = \vec{ \beta}_{0} \cos \phi$, где $\vec{ \beta}_{0}$ - постоянный вектор, $\phi$ - угол поворота из начального положения. Найти угловую скорость тела в зависимости от угла $\phi$. Изобразить график этой зависимости.
Решение:
Выберем положительное направление оси z (неподвижная ось вращения) вдоль вектора $\vec{ \beta}_{0}$. В соответствии с уравнением
$\frac{d \omega_{z}}{dt} = \beta_{z}$ или $\omega_{z} \frac{d \omega_{z}}{d \phi} = \beta_{z}$
Или, $\omega_{z} d \omega_{z} = \beta_{z} d \phi = \beta \cos \phi d \phi$,
Интегрируя это уравнение в пределе $\omega_{z} ( \phi)$
получаем, $\int_{0}^{ \omega_{z}} d \omega_{z} = \beta_{0} \int_{0}^{ \phi} \cos \phi d \phi$
или, $\frac{ \omega_{z}^{2}}{2} = \beta_{0} \sin \phi$
следовательно $\omega_{z} = \pm \sqrt{2 \beta_{0} \sin \phi}$
График $\omega_{z}( \phi )$ показан на рисунке. Видно, что с ростом угла $\phi$ вектор $\vec{ \omega}$ сначала возрастает, совпадая с направлением вектора $\vec{ \beta}_{0} ( \omega_{z} > 0)$, достигает максимума при $\phi = \phi/2$, затем начинает убывать и, наконец, превращается в нуль при $\phi = \pi$. После этого тело начинает вращаться в противоположном направлении аналогичным образом ($\omega_{z} < 0$). В результате тело будет колебаться вокруг позиции $\phi = \phi / 2$ с амплитудой, равной $\pi / 2$.
Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением $\vec{ \beta} = \vec{ \beta}_{0} \cos \phi$, где $\vec{ \beta}_{0}$ - постоянный вектор, $\phi$ - угол поворота из начального положения. Найти угловую скорость тела в зависимости от угла $\phi$. Изобразить график этой зависимости.
Решение:
Выберем положительное направление оси z (неподвижная ось вращения) вдоль вектора $\vec{ \beta}_{0}$. В соответствии с уравнением
$\frac{d \omega_{z}}{dt} = \beta_{z}$ или $\omega_{z} \frac{d \omega_{z}}{d \phi} = \beta_{z}$
Или, $\omega_{z} d \omega_{z} = \beta_{z} d \phi = \beta \cos \phi d \phi$,
Интегрируя это уравнение в пределе $\omega_{z} ( \phi)$
получаем, $\int_{0}^{ \omega_{z}} d \omega_{z} = \beta_{0} \int_{0}^{ \phi} \cos \phi d \phi$
или, $\frac{ \omega_{z}^{2}}{2} = \beta_{0} \sin \phi$
следовательно $\omega_{z} = \pm \sqrt{2 \beta_{0} \sin \phi}$
График $\omega_{z}( \phi )$ показан на рисунке. Видно, что с ростом угла $\phi$ вектор $\vec{ \omega}$ сначала возрастает, совпадая с направлением вектора $\vec{ \beta}_{0} ( \omega_{z} > 0)$, достигает максимума при $\phi = \phi/2$, затем начинает убывать и, наконец, превращается в нуль при $\phi = \pi$. После этого тело начинает вращаться в противоположном направлении аналогичным образом ($\omega_{z} < 0$). В результате тело будет колебаться вокруг позиции $\phi = \phi / 2$ с амплитудой, равной $\pi / 2$.
