Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3311
2017-05-07 
Частица А движется по окружности радиуса $R = 50 см$ так, что ее радиус-вектор $\vec{r}$ относительно точки О (рис.) поворачивается с постоянной угловой скоростью $\omega = 0,40 рад/с$. Найти модуль скорости частицы, а также модуль и направление вектора ее полного ускорения.
Решение:
Зафиксируем координатную систему в точке O, как показано на рисунке, так, чтобы радиус-вектор $\vec{r}$ точки A в момент показа имел угол $\theta$ с осью $x$.
Заметим, что радиус-вектор частицы A вращается по часовой стрелке, и мы берем в качестве исходной линии линию Ox, поэтому в этом случае, очевидно, угловая скорость $\omega = \left ( - \frac{d \theta}{dt} \right )$ против часовой стрелки - значение углового смещения - положительное.
Также из геометрии треугольника OAC $\frac{R}{ \sin \theta} = \frac{r}{ \sin ( \pi - 2 \theta)}$ или, $r = 2R \cos \theta$. Запишем,
$\vec{r} = r \cos \theta \vec{i} + r \sin \theta \vec{j} = 2R \cos^{2} \theta \vec{i} + R \sin 2 \theta \vec{j}$
Дифференцируя по времени.
$\frac{d \vec{r}}{dt}$ или $\vec{v} = 2R2 \cos \theta ( - \sin \theta) \frac{d \theta}{dt} \vec{i} + 2R \cos 2 \theta \frac{d \theta}{dt} \vec{j}$ или, $\vec{v} = 2R \omega$
Или, $\vec{v} = 2R \left ( \frac{- d \theta}{dt} \right ) [ \sin 2 \theta \vec{i} - \cos 2 \theta \vec{j}]$
Или, $\vec{v} = 2R \omega ( \sin 2 \theta \vec{i} - \cos^{2} \theta \vec{j})$
Итак, $| \vec{v} |$ или $v = 2 \omega R = 0,4 м/с$.
Так как $\omega$ постоянна, то постоянна и $v$ и удовлетворяет условию $w_{t} = \frac{dv}{dt} = 0$,
Таким образом, $w = w_{n} = \frac{v^{2}}{R} = \frac{(2 \omega R)^{2}}{R} = 4 \omega^{2} R = 0,32 м/с^{2}$
Альтернативный вариант: на рис. угловая скорость точки A относительно центра окружности C становится
$- \frac{d(2 \theta)}{dt} = 2 \left ( - \frac{d \theta}{dt} \right ) = 2 \omega = const$
Таким образом, мы имеем задачу нахождения скорости и ускорения частицы, движущейся по окружности радиуса $R$ с постоянной угловой скоростью $2 \omega$.
Следовательно, $v = 2 \omega R$ и
$w = w_{n} = \frac{v^{2}}{R} = \frac{(2 \omega R)^{2}}{R} = 4 \omega^{2} R$
Частица А движется по окружности радиуса $R = 50 см$ так, что ее радиус-вектор $\vec{r}$ относительно точки О (рис.) поворачивается с постоянной угловой скоростью $\omega = 0,40 рад/с$. Найти модуль скорости частицы, а также модуль и направление вектора ее полного ускорения.
Решение:
Зафиксируем координатную систему в точке O, как показано на рисунке, так, чтобы радиус-вектор $\vec{r}$ точки A в момент показа имел угол $\theta$ с осью $x$.
Заметим, что радиус-вектор частицы A вращается по часовой стрелке, и мы берем в качестве исходной линии линию Ox, поэтому в этом случае, очевидно, угловая скорость $\omega = \left ( - \frac{d \theta}{dt} \right )$ против часовой стрелки - значение углового смещения - положительное.
Также из геометрии треугольника OAC $\frac{R}{ \sin \theta} = \frac{r}{ \sin ( \pi - 2 \theta)}$ или, $r = 2R \cos \theta$. Запишем,
$\vec{r} = r \cos \theta \vec{i} + r \sin \theta \vec{j} = 2R \cos^{2} \theta \vec{i} + R \sin 2 \theta \vec{j}$
Дифференцируя по времени.
$\frac{d \vec{r}}{dt}$ или $\vec{v} = 2R2 \cos \theta ( - \sin \theta) \frac{d \theta}{dt} \vec{i} + 2R \cos 2 \theta \frac{d \theta}{dt} \vec{j}$ или, $\vec{v} = 2R \omega$
Или, $\vec{v} = 2R \left ( \frac{- d \theta}{dt} \right ) [ \sin 2 \theta \vec{i} - \cos 2 \theta \vec{j}]$
Или, $\vec{v} = 2R \omega ( \sin 2 \theta \vec{i} - \cos^{2} \theta \vec{j})$
Итак, $| \vec{v} |$ или $v = 2 \omega R = 0,4 м/с$.
Так как $\omega$ постоянна, то постоянна и $v$ и удовлетворяет условию $w_{t} = \frac{dv}{dt} = 0$,
Таким образом, $w = w_{n} = \frac{v^{2}}{R} = \frac{(2 \omega R)^{2}}{R} = 4 \omega^{2} R = 0,32 м/с^{2}$
Альтернативный вариант: на рис. угловая скорость точки A относительно центра окружности C становится
$- \frac{d(2 \theta)}{dt} = 2 \left ( - \frac{d \theta}{dt} \right ) = 2 \omega = const$
Таким образом, мы имеем задачу нахождения скорости и ускорения частицы, движущейся по окружности радиуса $R$ с постоянной угловой скоростью $2 \omega$.
Следовательно, $v = 2 \omega R$ и
$w = w_{n} = \frac{v^{2}}{R} = \frac{(2 \omega R)^{2}}{R} = 4 \omega^{2} R$
