Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3310
2017-05-07 
Частица движется с постоянной по модулю скоростью $v$ по плоской траектории $y(x)$. Найти ускорение частицы в точке $x = 0$ и радиус кривизны траектории в этой точке, если траектория имеет вид:
а) параболы $y = ax^{2}$;
б) эллипса $(x/a)^{2} + (y/b)^{2} = 1$. Здесь $a$ и $b$ — постоянные.
Решение:
(а) Продифференцируем дважды уравнение траектории $y(x)$ по времени.
$\frac{dy}{dx} =2ax \frac{dx}{dt}; \frac{d^{2}y}{dt^{2}} =2a \left [ \left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2} + x \frac{d^{2}x}{dt^{2}} \right ]$
Поскольку частица движется равномерно, ее ускорение во всех точках пути нормальное, а в точке $x = 0$ оно совпадает с направлением производной $d^{2} y / dt^{2}$. Имея в виду что в точке $x = 0, \left | \frac{dx}{dt} \right | = v$,
Мы получаем $w = \left | \frac{d^{2}y}{dt^{2}} \right |_{x=0} = 2av^{2} = w_{n}$
Отсюда, $w_{n} = 2av^{2} = \frac{v^{2}}{R}$, или $R = \frac{1}{2a}$
Заметим, что мы можем также вычислить его по формуле задачи (3303 b)
(б) Дифференцируя уравнение траектории по времени, получаем, что
$b^{2}x \frac{dx}{dt} + a^{2}y \frac{dy}{dt} = 0$ (1)
где вектор $(b^{2} x \vec{i} + a^{2} y \vec{j})$ нормален к вектору скорости $\vec{v} = \frac{dx}{dt} \vec{i} + \frac{dy}{dt} \vec{j}$ и направлен вдоль касательной. Таким образом, прежний вектор напрвлен по нормали, а нормальная составляющая ускорения:
$w_{n} = \frac{b^{2} x \frac{d^{2}x}{dt^{2}} + a^{2}y \frac{d^{2}y}{dt^{2}}}{(b^{4}x^{2} + a^{4}y^{2})^{1/2}}$
Используя, $w_{n} = \vec{w} \cdot \vec{n} / | \vec{n}|$. При $x=0, y = \pm b$ и, при $x = 0$
$w_{n} = \left . \pm \frac{d^{2}y}{dt^{2}} \right |_{x=0}$
Дифференцируя (1)
$b^{2} \left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2} + b^{2} x \left ( \frac{d^{2}x}{dt^{2}} \right ) + a^{2} \left ( \frac{dy}{dt} \right )^{2} + a^{2} y \left ( \frac{d^{2} y}{dt^{2}} \right ) = 0$
Также из (1) $\frac{dy}{dt} = 0$ при $x=0$
Таким образом, $\left ( \frac{dx}{dt} \right ) = \pm v$ (так как тангенциальная скорость постоянна $= v$)
таким образом $\left ( \frac{d^{2}y}{dt^{2}} \right ) = \pm \frac{b}{a^{2}} v^{2}$
и $|w_{n}| = \frac{bv^{2}}{a^{2}} = \frac{v^{2}}{R}$
Это дает $R = a^{2} /b$.
Частица движется с постоянной по модулю скоростью $v$ по плоской траектории $y(x)$. Найти ускорение частицы в точке $x = 0$ и радиус кривизны траектории в этой точке, если траектория имеет вид:
а) параболы $y = ax^{2}$;
б) эллипса $(x/a)^{2} + (y/b)^{2} = 1$. Здесь $a$ и $b$ — постоянные.
Решение:
(а) Продифференцируем дважды уравнение траектории $y(x)$ по времени.
$\frac{dy}{dx} =2ax \frac{dx}{dt}; \frac{d^{2}y}{dt^{2}} =2a \left [ \left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2} + x \frac{d^{2}x}{dt^{2}} \right ]$
Поскольку частица движется равномерно, ее ускорение во всех точках пути нормальное, а в точке $x = 0$ оно совпадает с направлением производной $d^{2} y / dt^{2}$. Имея в виду что в точке $x = 0, \left | \frac{dx}{dt} \right | = v$,
Мы получаем $w = \left | \frac{d^{2}y}{dt^{2}} \right |_{x=0} = 2av^{2} = w_{n}$
Отсюда, $w_{n} = 2av^{2} = \frac{v^{2}}{R}$, или $R = \frac{1}{2a}$
Заметим, что мы можем также вычислить его по формуле задачи (3303 b)
(б) Дифференцируя уравнение траектории по времени, получаем, что
$b^{2}x \frac{dx}{dt} + a^{2}y \frac{dy}{dt} = 0$ (1)
где вектор $(b^{2} x \vec{i} + a^{2} y \vec{j})$ нормален к вектору скорости $\vec{v} = \frac{dx}{dt} \vec{i} + \frac{dy}{dt} \vec{j}$ и направлен вдоль касательной. Таким образом, прежний вектор напрвлен по нормали, а нормальная составляющая ускорения:
$w_{n} = \frac{b^{2} x \frac{d^{2}x}{dt^{2}} + a^{2}y \frac{d^{2}y}{dt^{2}}}{(b^{4}x^{2} + a^{4}y^{2})^{1/2}}$
Используя, $w_{n} = \vec{w} \cdot \vec{n} / | \vec{n}|$. При $x=0, y = \pm b$ и, при $x = 0$
$w_{n} = \left . \pm \frac{d^{2}y}{dt^{2}} \right |_{x=0}$
Дифференцируя (1)
$b^{2} \left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2} + b^{2} x \left ( \frac{d^{2}x}{dt^{2}} \right ) + a^{2} \left ( \frac{dy}{dt} \right )^{2} + a^{2} y \left ( \frac{d^{2} y}{dt^{2}} \right ) = 0$
Также из (1) $\frac{dy}{dt} = 0$ при $x=0$
Таким образом, $\left ( \frac{dx}{dt} \right ) = \pm v$ (так как тангенциальная скорость постоянна $= v$)
таким образом $\left ( \frac{d^{2}y}{dt^{2}} \right ) = \pm \frac{b}{a^{2}} v^{2}$
и $|w_{n}| = \frac{bv^{2}}{a^{2}} = \frac{v^{2}}{R}$
Это дает $R = a^{2} /b$.
