Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 331
2014-05-31 
Проволочная спираль расположена вертикально. Радиус спирали $R$, расстояние между ее витками $h$, причем $h \ll R$. На спираль надета маленькая бусинка, которая может скользить по ней; коэффициент трения между проволокой и бусинкой $\mu < h /(2 \pi R)$. Определите скорость бусинки в установившемся режиме.
Решение:
Рассмотрим силы, действующие в произвольный момент времени $t$ на бусинку, скользящую вниз по спирали. Ее скорость в этот момент обозначим через $\bar{v}$. Рассмотрение будем вести в инерциальной системе декартовых координат (неподвижной относительно спирали}; ее начало совместим с точкой О, в которой находится центр бусинки в момент времени $t$. Ось х направим вдоль вектора $\bar{v}$, ось у проведем перпендикулярно к оси х и направим ее в сторону оси спирали, ось z направим вверх.
Заметим, что ось х составляет с горизонталью такой угол $\alpha$, что
$tg \: \alpha = \frac{h}{2 \pi R}$
Так как по условию задачи $h \ll R$, то угол $\alpha$ мал, и для него можно написать:
$\alpha \approx tg \: \alpha = \frac{h}{2 \pi R}$. (1)
На бусинку действует сила тяжести $m \bar{g}$, направленная вниз вдоль вертикали, сила нормальной реакции спирали $\bar{Q}$, направленная перпендикулярно к оси х, и сила трения скольжения $\bar{F_{т}}$, направленная противоположно оси х. Для величины $F_{т}$ силы $\bar{F_{т}}$ можно написать:
$\bar{F_{т}} = \mu Q$. (2)
Согласно II закону Ньютона
$m \bar{a} = m \bar{g} \bar{Q} + \bar{F_{т}}$. (3)
Здесь $m$ - масса бусинки и $\bar{a}$ - ее ускорение. Спроецируем это равенство, отнесенное к моменту времени $t$, на оси построенной нами системы декартовых координат:
$ma_{x}=mg \sin \alpha – F_{т}$,
$ma_{y}=Q_{y}$,
$ma_{z}=Q_{z}-mg \cos \alpha$.
Отсюда, принимая во внимание, что угол $\alpha$ мал и, вследствие этого, $\sin \alpha \approx \alpha$ и $\cos \alpha \approx 1$, с учетом равенств (1) и (2) получаем
$ma_{x}=\frac{mgh}{2 \pi R}- \mu Q$,
$ma_{y}=Q_{y}$, (4)
$ma_{z}=Q_{z}-mg$.
Здесь $a_{x},a_{y},a_{z}$ и $Q_{y}, Q_{z}$ - проекции векторов $\bar{a}$ и $\bar{Q}$ на соответствующие оси.
Будем считать, что начало координат бусинка проходит в уже установившемся режиме, т. е. с постоянной линейной скоростью $v_{0}$, которую требуется найти. Так как $h \ll R$, то с хорошей степенью точности можно считать, что вблизи начала координат траекторией бусинки служит дуга окружности с радиусом $R$, расположенной на плоскости ху, В связи с этим,
$a_{x}=0,a_{y}=v^{2}_{0}/R,a_{z}=0$. (5)
С учетом равенств (5) система уравнений движения (4) принимает вид
$\frac{mgh}{2 \pi R} - \mu Q = 0$,
$\frac{mv^{2}_{0}}{R}-Q_{y}=0$,
$mg – Q_{z}=0$.
Пополняя эту систему очевидным равенством
$Q^{2}=Q^{2}_{y}+ Q^{2}_{z}$
и исключая затем из нее неизвестные $Q_{y},Q_{z}$ и $Q$, находим
$v_{0}=(gR)^{1/2} \left [ \left ( \frac{h}{2 \pi \mu R} \right )^{2} -1 \right ]^{1/4}$
Проволочная спираль расположена вертикально. Радиус спирали $R$, расстояние между ее витками $h$, причем $h \ll R$. На спираль надета маленькая бусинка, которая может скользить по ней; коэффициент трения между проволокой и бусинкой $\mu < h /(2 \pi R)$. Определите скорость бусинки в установившемся режиме.
Решение:
Рассмотрим силы, действующие в произвольный момент времени $t$ на бусинку, скользящую вниз по спирали. Ее скорость в этот момент обозначим через $\bar{v}$. Рассмотрение будем вести в инерциальной системе декартовых координат (неподвижной относительно спирали}; ее начало совместим с точкой О, в которой находится центр бусинки в момент времени $t$. Ось х направим вдоль вектора $\bar{v}$, ось у проведем перпендикулярно к оси х и направим ее в сторону оси спирали, ось z направим вверх.
Заметим, что ось х составляет с горизонталью такой угол $\alpha$, что
$tg \: \alpha = \frac{h}{2 \pi R}$
Так как по условию задачи $h \ll R$, то угол $\alpha$ мал, и для него можно написать:
$\alpha \approx tg \: \alpha = \frac{h}{2 \pi R}$. (1)
На бусинку действует сила тяжести $m \bar{g}$, направленная вниз вдоль вертикали, сила нормальной реакции спирали $\bar{Q}$, направленная перпендикулярно к оси х, и сила трения скольжения $\bar{F_{т}}$, направленная противоположно оси х. Для величины $F_{т}$ силы $\bar{F_{т}}$ можно написать:
$\bar{F_{т}} = \mu Q$. (2)
Согласно II закону Ньютона
$m \bar{a} = m \bar{g} \bar{Q} + \bar{F_{т}}$. (3)
Здесь $m$ - масса бусинки и $\bar{a}$ - ее ускорение. Спроецируем это равенство, отнесенное к моменту времени $t$, на оси построенной нами системы декартовых координат:
$ma_{x}=mg \sin \alpha – F_{т}$,
$ma_{y}=Q_{y}$,
$ma_{z}=Q_{z}-mg \cos \alpha$.
Отсюда, принимая во внимание, что угол $\alpha$ мал и, вследствие этого, $\sin \alpha \approx \alpha$ и $\cos \alpha \approx 1$, с учетом равенств (1) и (2) получаем
$ma_{x}=\frac{mgh}{2 \pi R}- \mu Q$,
$ma_{y}=Q_{y}$, (4)
$ma_{z}=Q_{z}-mg$.
Здесь $a_{x},a_{y},a_{z}$ и $Q_{y}, Q_{z}$ - проекции векторов $\bar{a}$ и $\bar{Q}$ на соответствующие оси.
Будем считать, что начало координат бусинка проходит в уже установившемся режиме, т. е. с постоянной линейной скоростью $v_{0}$, которую требуется найти. Так как $h \ll R$, то с хорошей степенью точности можно считать, что вблизи начала координат траекторией бусинки служит дуга окружности с радиусом $R$, расположенной на плоскости ху, В связи с этим,
$a_{x}=0,a_{y}=v^{2}_{0}/R,a_{z}=0$. (5)
С учетом равенств (5) система уравнений движения (4) принимает вид
$\frac{mgh}{2 \pi R} - \mu Q = 0$,
$\frac{mv^{2}_{0}}{R}-Q_{y}=0$,
$mg – Q_{z}=0$.
Пополняя эту систему очевидным равенством
$Q^{2}=Q^{2}_{y}+ Q^{2}_{z}$
и исключая затем из нее неизвестные $Q_{y},Q_{z}$ и $Q$, находим
$v_{0}=(gR)^{1/2} \left [ \left ( \frac{h}{2 \pi \mu R} \right )^{2} -1 \right ]^{1/4}$
