ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-07   
Точка движется, замедляясь, по окружности радиуса $R$ так, что в каждый момент времени ее тангенциальное и нормальное ускорения по модулю равны друг другу. В начальный момент $i = 0$ скорость точки равна $v_{0}$. Найти:
а) скорость точки в зависимости от времени и от пройденного пути $s$;
б) полное ускорение точки в функции скорости и пройденного пути.


Решение:


В соответствии с задачей

$|w_{t}| = |w_{n}|$
Для $v{t}$, $\frac{-dv}{dt} = \frac{v^{2}}{R}$

Интегрируя это уравнение по $v_{0} \leq v \leq v$ и $0 \leq t \leq t$

$- \int_{v_{0}}^{v} \frac{dv}{v^{2}} = \frac{1}{R} \int_{0}^{t} dt$ или $v = \frac{v_{0}}{ \left ( 1 + \frac{v_{0}t}{R} \right )}$

Получаем, $v(s), - \frac{vdv}{ds} = \frac{v^{2}}{R}$, интегрируя это уравнение по $v_{0} \leq v \leq v$ и $0 \leq s \leq s$

Получаем, $\int_{v_{0}}^{v} \frac{dv}{v} = - \frac{1}{R} \int_{0}^{s} ds$ или $ln \frac{v}{v_{0}} = - \frac{s}{R}$

Следовательно, $v = v_{0} e^{-s/R}$ (2)

(б) Нормальное ускорение точки

$w_{n} = \frac{v^{2}}{R} = \frac{v^{2} e^{ - 2s/R}}{R}$ (использованием 2)

И в соответствии с задачей

$|w_{t}| = |w_{n}|$ и $w_{t} \hat{u}_{t} \perp w_{n} \hat{u}_{n}$

Так что $w = \sqrt{2} w_{n} = \sqrt{2} \frac{v_{0}^{2}}{R} e^{-2s/R} = \sqrt{2} \frac{v^{2}}{R}$