ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-07   
Частица движется в плоскости $xy$ со скоростью $\vec{v} = a \vec{i} + bx \vec{j}$, где $\vec{i}$ и $\vec{j}$ - орты осей $x$ и $y$,$a$ и $b$ - постоянные. В начальный момент частица находилась в точке $x = y = 0$. Найти:
а) уравнение траектории частицы $y(x)$;
б) радиус кривизны траектории в зависимости от $x$.


Решение:


(а) Вектор скорости частицы

$\vec{v} = a \vec{i} + bx \vec{j}$
Таким образом, $\frac{dx}{dt} =a; \frac{dy}{dt} = bx$ (1)

Из (1) $\int_{0}^{x} dx = a \int_{0}^{t} dt$ или $x = at$ (2)

и $dy = bx dt = bat dt$

Интегрирование $\int_{0}^{y} dy = ab \int_{0}^{t} tdt$ или, $y = \frac{1}{2} abt^{2}$ (3)

Из уравнений (2) и (3), получим, $y = \frac{b}{2a} x^{2}$ (4)

(б) Радиус кривизны траектории $y(x)$ равен:

$R = \frac{(1 + (dy/dx)^{2})^{3/2}}{|d^{2}y/dx^{2}|}$ (5)

Продифференцируем путь $y = \frac{b}{2a} x^{2}$ относительно $x$,

$\frac{dy}{dx} = \frac{b}{a} x$ и $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{b}{a}$ (6)

Из уравнений (5) и (6), искомый радиус кривизны

$R = \frac{a}{b} \left ( 1 + \left ( \frac{b}{a} x \right )^{2} \right )^{3/2}$