ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-07   
Воздушный шар начинает подниматься с поверхности Земли. Скорость его подъема постоянна и равна $v_{0}$. Благодаря ветру шар приобретает горизонтальную компоненту скорости $v_{x} = ay$, где $a$ — постоянная, $y$ — высота подъема. Найти зависимости от высоты подъема:
а) величины сноса шара $x(y)$;
б) полного, тангенциального и нормального ускорений шара.


Решение:


Согласно задаче
(a) $\frac{dy}{dt} = v_{0}$ или $dy = v_{0} dt$

Интегрирование $\int_{0}^{y} dy = v_{0} \int_{0}^{t} dt$ или $y = v_{0} t$ (1)

Поэтому имеем $\frac{dx}{dt} = ay$ или $dx = ay dt = av_{0} tdt$ (используя 1)
Таким образом, $\int_{0}^{x} dx = av_{0} \int_{0}^{t} tdt$ или $x = \frac{1}{2} av_{0} t^{2} = \frac{1}{2} \frac{ay^{2}}{v_{0}}$ (используя 1)

(б) В соответствии с задачей

$v_{y} = v_{0}$ и $v_{x} = ay$ (2)

$v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{ v_{0}^{2} + a^{2}y^{2}}$
следовательно $w_{t} = \frac{dv}{dt} = \frac{a^{2}y}{ \sqrt{v_{0}^{2} + ay^{2}}} \frac{dy}{dt} = \frac{a^{2}y}{ \sqrt{1 + (ay/v_{0})^{2}}}$

Дифференцируя уравнение (2) по времени.

$\frac{dv_{y}}{dt} = w_{y} = 0$ и $\frac{dv_{x}}{dt} = w_{x} = a \frac{dy}{dt} = av_{0}$
Так, $w = |w_{x}| = av_{0}$

Следовательно, $w_{n} = \sqrt{ w^{2} - w_{t}^{2}} = \sqrt{ a^{2}v_{0}^{2} - \frac{a^{4}y^{2}}{1 + (ay/v_{0})^{2}}} = \frac{av_{0}}{ \sqrt{1 + (ay/v_{0})^{2}}}$