2014-05-31
Шарик массой $m$ прикреплен к пружине с жесткостью $k$ и может свободно двигаться вдоль прямого горизонтального стержня закрепленного на вращающейся опоре (рис.). Систему приводит во вращение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью $\omega$ Ось вращения проходит через центр шарика при $\omega = 0$. Найдите положения равновесия системы. Являются ли они устойчивыми? Ответ обоснуйте.
Решение:
При $\omega = 0$ пружина не деформирована, и шарик при этом находится в положении устойчивого равновесия. Систему раскручивают до угловой скорости $\omega$. Предположим, что шарик покоится на расстоянии $l$ от оси вращения и не касается стенок. При этом шарик движется с центростремительным ускорением $\omega^{2} l$
и должно выполняться равенство
$m \omega^{2} l = kl$. (1)
а) Если $m \omega^{2}=k$, то это равенство (1) справедливо при любых значениях $l$, т. е. шарик находится в положении "безразличного" равновесия при любом $l$ (малые возмущения могут перемещать шарик вдоль стержня).
б) Если $m \omega^{2} < k$, то равенство $m \omega^{2} l = kl$ имеет место лишь при
$l = 0$. Таким образом, положение равновесия шарика находится на оси вращения. Это устойчивое положение равновесия шарика, так как сила, действующая на него со стороны пружины $(kl)$, больше, чем произведение массы на центростремительное ускорение шарика на расстоянии $l$ от центра.
в) Наконец, если $m \omega^{2} > k$, то положение равновесия шарика при $l = 0$ неустойчиво.