ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-07   
Тело бросили с поверхности Земли под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_{0}$. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
а) время движения;
б) максимальную высоту подъема и горизонтальную дальность полета; при каком значении угла $\alpha$ они будут равны друг другу;
в) уравнение траектории $y(x)$, где $y$ и $x$ — перемещения тела во вертикали и горизонтали соответственно;
г) радиусы кривизны начала и вершины траектории.


Решение:



Тело, запущенное со скоростью $v_{0}$ под углом $\alpha$ к горизонту, падает в точке P на земной поверхности на том же уровне (рис.). Точка проекции принимается за начало координат, поэтому $\Delta x = x$ и $\Delta y = y$
(a) Из уравнения $\Delta y = v_{0} t + \frac{1}{2} w_{y} t^{2}$
$0 = v_{0} \sin \alpha \tau - \frac{1}{2} g \tau^{2}$

При $\tau \neq 0$, значит, время движения $\tau = \frac{2v_{0} \sin \alpha}{g}$
(б) На максимальной высоте подъема $v_{y} = 0$, так что из уравнения $v_{y}^{2} = v_{0y}^{2} + 2w_{y} \Delta y$
$0 = ( v_{0} \sin \alpha)^{2} - 2gH$

Следовательно, максимальная высота $H = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha}{2g}$
Во время движения горизонтальное смещение получаются из уравнения

$\Delta x = v_{0x}t + \frac{1}{2} w_{x} \tau^{2}$

или, $R = v_{0} \cos \alpha \tau - \frac{1}{2} (0) \tau^{2} = v_{0} \cos \alpha \tau = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 \alpha}{g}$ когда $R = H$

$\frac{v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha}{g} = \frac{ v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha}{2g}$ или $tg \alpha = 4$, а значит, $\alpha = tg^{-1} 4$

(в) Для тела, $x(t)$ и $y(t)$ являются

$x = v_{0} \cos \alpha t$ (1)

И $y = v_{0} \sin \alpha t - \frac{1}{2} gt^{2}$ (2)

Поэтому, получая значение $t$ из (1) и подставляя в (2), получаем,

$y = v_{0} \sin \alpha \left ( \frac{x}{v_{0} \cos \alpha} \right ) - \frac{1}{2} g \left ( \frac{x}{v_{0} \cos \alpha} \right )^{2} = x tg \alpha - \frac{gx^{2}}{2v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha}$,

Получаем искомое уравнение траектории, т.е. $y(x)$

(г) Поскольку брошенное тело, следует кривой, оно имеет некоторое нормальное ускорение на всех моменты времени во время его движения.
В начальной точке ($x = 0, y = 0$) из уравнения:

$w_{n} = \frac{v^{2}}{R}$, (где $R$ кривизны)
$g \cos \alpha = \frac{v_{0}^{2}}{R_{0}}$ (см. Рис.) Или $R_{0} = \frac{v_{0}^{2}}{g \cos \alpha}$

В точке максимума $v_{y} = 0, v = v_{x} = v_{0} \cos \alpha$ и угловое ускорение равно нулю.

Теперь из уравнения. $w_{n} = \frac{v^{2}}{R}$
$g = \frac{v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha }{R}$, или $R = \frac{v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha}{g}$

Примечание: Можно использовать формулу радиуса кривизны траектории $y(x)$, для решения части (d),

$R = \frac{ \left [ 1 + (dy/dx)^{2} \right ]^{3/2}}{ |d^{2} y/ dx^{2}|}$