ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-07   
Небольшое тело бросили под углом к горизонту с начальной скоростью $\vec{v}_{0}$. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
а) перемещение тела в функции времени $\vec{r}(t)$;
б) средний вектор скорости $\langle v \rangle$ за первые $t$ секунд и за все время движения.


Решение:



Поскольку тело находится под действием силы тяжести постоянного ускорения $\vec{g}$, векторы скорости и векторы смещений:
$\vec{v} = \vec{v}_{0} + \vec{g} t$ (1)
и $\Delta \vec{r} = \vec{r} = \vec{v}_{0} t + \frac{1}{2} gt^{2}$ ( $\vec{r} = 0$при $t = 0$) (2)

$\langle \vec{v} \rangle $ в течение первых $t$ секунд

$\langle \vec{v} \rangle = \frac{ \Delta \vec{r}}{ \Delta t} = \frac{ \vec{r}}{t} = \vec{v}_{0} + \frac{ \vec{g} t}{2}$ (3)

Следовательно, из (3), $\langle \vec{v} \rangle $ в течение первых $t$ секунд

$\langle \vec{v} \rangle = \vec{v}_{0} + \frac{ \vec{g}}{2} \tau$ (4)

Для оценки $t$, примем

$\vec{v} \cdot \vec{v} = ( \vec{v}_{0} + \vec{g} t) \cdot ( \vec{v}_{0} + \vec{g} t) = v_{0}^{2} + 2 ( \vec{v}_{0} \cdot \vec{g}) t + g^{2} t^{2}$

Или, $v^{2} = v_{0}^{2} + ( \vec{v}_{0} \cdot \vec{g}) t + g^{2} t^{2}$

Но имеем $v = v_{0}$ при $t = 0$, а также $t = \tau$ (рис.) (из сохранения энергии)

Следовательно, используя эту оценку в уравнении (5)

$v_{0}^{2} = v_{0}^{2} + 2 ( \vec{v}_{0} \cdot \vec{g}) \tau + g^{2} \tau^{2}$

При $\tau \neq 0$, имеем, $\tau = - \frac{2 ( \vec{v}_{0} \cdot \vec{g})}{g^{2}}$

Полагая это значение равным $\tau$ в уравнении (4), средняя скорость за время полета

$\langle \vec{v} \rangle = \vec{v}_{0} - \vec{g} \frac{( \vec{v}_{0} \cdot \vec{g})}{g^{2}}$