Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3295
2017-05-07 
Частица движется в плоскости $xy$ с постоянным ускорением $\vec{w}$, направление которого противоположно положительному направлению оси $y$. Уравнение траектории частицы имеет вид $y = ax - bx^{2}$, где $a$ и $b$ — положительные постоянные. Найти скорость частицы в начале координат.
Решение:
В соответствии с проблемой $\vec{w} = w (- \vec{j})$
Итак, $w_{x} = \frac{dv_{x}}{dt} = 0$ и $w_{y} = \frac{dv_{y}}{dt} = -w$ (1)
Дифференцируя уравнение траектории, $y = ax - bx^{2}$, по времени
$\frac{dy}{dt} = \frac{adx}{dt} -2bx \frac{dx}{dt}$ (2)
Получаем, $\left . \frac{dy}{dt} \right |_{x=0} = a \left . \frac{dx}{dt} \right |_{x=0}$
Опять дифференцируя по времени
$\frac{d^{2}y}{dt^{2}} = \frac{ad^{2} x}{dt^{2}} - 2b \left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2} - 2bx \frac{d^{2} x}{dt^{2}}$
или, $- w = a(0) - 2b \left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2} - 2bx(0)$ (используя 1)
или, $\frac{dx}{dt} = \sqrt{ \frac{w}{2b}}$ (используя 1) (3)
Используя (3) в (2) $\left . \frac{dy}{dt} \right |_{x=0} = a \sqrt{ \frac{w}{2b}}$ (4)
Следовательно, скорость частицы в начале координат
$v = \sqrt{ \left ( \frac{dx}{dt} \right )_{x=0}^{2} + \left ( \frac{dy}{dt} \right )_{x=0}^{2} } = \sqrt{ \frac{w}{2b} + a^{2} \frac{w}{2b}}$ ( используя уравнения (3) и (4))
Следовательно, $v = \sqrt{ \frac{w}{2b} (1 + a^{2})}$
Частица движется в плоскости $xy$ с постоянным ускорением $\vec{w}$, направление которого противоположно положительному направлению оси $y$. Уравнение траектории частицы имеет вид $y = ax - bx^{2}$, где $a$ и $b$ — положительные постоянные. Найти скорость частицы в начале координат.
Решение:
В соответствии с проблемой $\vec{w} = w (- \vec{j})$
Итак, $w_{x} = \frac{dv_{x}}{dt} = 0$ и $w_{y} = \frac{dv_{y}}{dt} = -w$ (1)
Дифференцируя уравнение траектории, $y = ax - bx^{2}$, по времени
$\frac{dy}{dt} = \frac{adx}{dt} -2bx \frac{dx}{dt}$ (2)
Получаем, $\left . \frac{dy}{dt} \right |_{x=0} = a \left . \frac{dx}{dt} \right |_{x=0}$
Опять дифференцируя по времени
$\frac{d^{2}y}{dt^{2}} = \frac{ad^{2} x}{dt^{2}} - 2b \left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2} - 2bx \frac{d^{2} x}{dt^{2}}$
или, $- w = a(0) - 2b \left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2} - 2bx(0)$ (используя 1)
или, $\frac{dx}{dt} = \sqrt{ \frac{w}{2b}}$ (используя 1) (3)
Используя (3) в (2) $\left . \frac{dy}{dt} \right |_{x=0} = a \sqrt{ \frac{w}{2b}}$ (4)
Следовательно, скорость частицы в начале координат
$v = \sqrt{ \left ( \frac{dx}{dt} \right )_{x=0}^{2} + \left ( \frac{dy}{dt} \right )_{x=0}^{2} } = \sqrt{ \frac{w}{2b} + a^{2} \frac{w}{2b}}$ ( используя уравнения (3) и (4))
Следовательно, $v = \sqrt{ \frac{w}{2b} (1 + a^{2})}$
