ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-07   
Точка движется в плоскости $xy$ по закону: $x = at, y = at (1 - \alpha t)$, где $a$ и $\alpha$ — положительные постоянные, $t$ — время. Найти:
а) уравнение траектории точки $y(x)$; изобразить ее график;
б) скорость $v$ и ускорение $w$ точки в зависимости от времени;
в) момент $t_{0}$, в который вектор скорости составляет угол $\pi /4$ с вектором ускорения.


Решение:


(a) Имеем $x = at$ и $y = at (1 - \alpha t)$ (1)

Следовательно, $y(x)$ становится,

$y = \frac{ax}{a} \left ( 1 - \frac{ \alpha x}{a} \right ) = x - \frac{ \alpha }{a} x^{2}$ (парабола)

(б) Дифференцируя уравнение (1) получим

$v_{x} = a$ и $v_{y} = a(1 - 2 \alpha t)$ (2)
Итак, $v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = a \sqrt{1 + (1 - 2 \alpha t)^{2}}$

Дифференцируя уравнение (2) по времени

$w_{x} = 0$ и $w_{y} = - 2 a \alpha$
$w = \sqrt{w_{x}^{2} + w_{y}^{2}} = 2a \alpha$

(в) Из уравнений (2) и (3)
Имеем $\vec{v} = a \vec{i} + a (1 - 2 \alpha t) \vec{j}$ и $\vec{w} = 2 a \alpha \vec{j}$

Итак, $\cos \frac{ \pi}{4} = \frac{1}{ \sqrt{2}} = \frac{ \vec{v} \cdot \vec{w}}{vw} = \frac{-a(1 - 2 \alpha t_{0})2a \alpha}{a \sqrt{1 + (1-2 \alpha t_{0})^{2}} 2a \alpha}$

упрощая, получаем $1 - 2 \alpha t_{0} = \pm 1$ так как, $t_{0} \neq 0, t_{0} = \frac{1}{ \alpha}$