ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-07   
Радиус-вектор точки А относительно начала координат меняется со временем $t$ по закону $\vec{r} = at \vec{i} - bt^{2} \vec{j}$, где $a$ и $b$ — положительные постоянные, $\vec{i}$ и $\vec{j}$ — орты осей х и у. Найти:
а) уравнение траектории точки $y(x)$; изобразить ее график;
б) зависимости от времени векторов скорости $\vec{v}$, ускорения $\vec{w}$ и модулей этих величин;
в) зависимость от времени угла а между векторами $\vec{w}$ и $\vec{v}$;
г) средний вектор скорости за первые $t$ секунд движения и модуль этого вектора.


Решение:



(a) Так как $\vec{r} = at \vec{i} - bt^{2} \vec{j}$

То, $x = at, y = - bt^{2}$

и поэтому $y = \frac{ - bx^{2}}{a^{2}}$

Которое является уравнением параболы, график которой показан на рис.

(б) Поскольку $\vec{r} = at \vec{i} - bt^{2} \vec{j}$
$\vec{v} = \frac{d \vec{r}}{dt} = a \vec{i} - 2bt \vec{j}$ (1)

Итак, $v = \sqrt{ a^{2}(-2bt)^{2}} = \sqrt{a^{2} + 4b^{2}t^{2}}$

Дифференциальное уравнение (1) по времени, мы получаем

$\vec{w} = \frac{ d \vec{v}}{dt} = - 2b \vec{j}$
Итак, $| \vec{w} | = w = 2b$

(в) $\cos \alpha = \frac{ \vec{v} \cdot \vec{w}}{vw} = \frac{(a \vec{i} - 2bt \vec{j}) \cdot (-2b \vec{j})}{ ( \sqrt{a^{2} + 4b^{2} t^{2}}) 2b}$

Или, $\cos \alpha = \frac{2bt}{ \sqrt{a^{2} + 4b^{2}t^{2}}}$,

Таким образом, $tg \alpha = \frac{a}{2bt}$

или, $\alpha = tg^{-1} \left ( \frac{a}{2bt} \right )$

(г) Средний вектор скорости

$\langle \vec{v} \rangle = \frac{ \int \vec{v} dt}{ \int dt} = \frac{ \int_{0}^{t} (a \vec{i} - 2 bt \vec{j}) dt}{t} = a \vec{i} - bt \vec{j}$

Следовательно, $| \langle \vec{v} \rangle | = \sqrt{a^{2} + (-bt)^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2} t^{2}}$