ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-07   
Частица движется в положительном направлении оси x так, что ее скорость меняется по закону $v = \alpha \sqrt{x}$, где $\alpha$ — положительная постоянная. Имея в виду, что в момент $t = 0$ она находилась в точке $x = 0$, найти:
а) зависимость от времени скорости и ускорения частицы;
б) среднюю скорость частицы за время, в течение которого она пройдет первые $s$ метров пути.


Решение:


Поскольку частица находится в однонаправленном движении, она все время движется вдоль оси x. При $t= 0, x=0$

Имеем, $\Delta x = x = s$, и $\frac{dv}{dt} = w$
Следовательно, $v = \alpha \sqrt{x} = \alpha \sqrt{s}$
или, $w = \frac{dv}{dt} = \frac{ \alpha}{2 \sqrt{s}} \frac{ds}{dt} = \frac{ \alpha}{2 \sqrt{s}} = \frac{ \alpha v}{2 \sqrt{s}} = \frac{ \alpha \alpha \sqrt{s}}{2 \sqrt{s}} = \frac{ \alpha^{2}}{2}$ (1)

Значит, $w = \frac{dv}{st} = \frac{ \alpha^{2}}{2}$

Интегрируя, $\int_{0}^{v} dv = \int_{0}^{t} \frac{ \alpha^{2}}{2} dt$ или, $v = \frac{ \alpha^{2}}{2} t$ (2)

(б) Пусть $s$ - это время, чтобы покрыть первые $s м$ пути. Из уравнения.

$s = \int vdt$
$s = \int_{0}^{t} \frac{ \alpha^{2}}{2} dt = \frac{ \alpha^{2}}{2} \frac{t^{2}}{2}$ (используя 2)

или $t = \frac{2}{ \alpha} \sqrt{s}$

Средняя скорость частицы

$\langle v \rangle = \frac{ \int v(t) dt}{ \in dt} = \frac{ \int_{0}^{2 \sqrt{s} / \alpha} \frac{ \alpha^{2}}{2} tdt}{2 \sqrt{s} / \alpha} = \frac{ \alpha \sqrt{s}}{2}$