Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 329
2014-05-31 
Горизонтальный стержень вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов, с постоянной угловой скоростью $\omega$. На стержень насажена шайба массой $M$, соединенная с осью вращения невесомой пружиной, имеющей жесткость $k$ (рис.). Длина нерастянутой пружины $l$. Трение между шайбой и стержнем отсутствует. При каком соотношении между параметрами задачи шайба находится в устойчивом равновесии?
Решение:
Пусть шайба находится на расстоянии х от оси вращения. Тогда на нее со стороны пружины действует сила
$F(x)=k (x-l)$. (1)
Только при $x > l$ эта сила направлена к оси вращения и может выполнять роль центростремительной силы. Величина центростремительной силы $F_{цс}$, под действием которой масса $m$ будет двигаться по окружности радиусом $x$ с угловой скоростью $\omega$, дается формулой
$F_{цс}(x)=m \omega^{2}x$. (2)
Очевидно, что шайба неподвижна относительно вращающегося стержня, т. е. находится в равновесии, если имеет место равенство
$F(x)=F_{цс}(x)$. (3)
Приравнивая правые части равенств (1) и (2), определяем координату $x_{0}$, в которой достигается равновесие:
$x_{0}=\frac{l}{1-m \omega^{2}/k}$
Заметим, что это равенство имеет смысл только при
$x_{0}>0$, т. е. $k > m \omega^{2}$. (4)
Если
$F(x) > F_{цс}(x)$, (5)
то шайба смещается к оси вращения; если же наоборот, то шайба смещается от оси вращения.
Исследуем равновесие на устойчивость. Равновесие устойчиво если при сдвиге шайбы от этого положения $x_{0}$ возникают силы, направленные к положению равновесия. Следовательно, для устойчивости равновесия необходимо, чтобы неравенство (5) выполнялось при $x > x_{0}$, а противоположное неравенство имело место при $x < x_{0}$. Сравнивая правые части равенств (1) и (2), получаем, что неравенство (5) имеет место при $x > x_{0}$, а обратное неравенство – при $x < x_{0}$, если выполнено условие (4).
Окончательный результат: устойчивое равновесие имеет место только при выполнении условия (4). В противном случае нет равновесия и, естественно, нет устойчивости.
Критическое значение частоты вращения, до которой существует состояние устойчивого равновесия:
$\omega_{0}=\sqrt{k/m}$
есть не что иное, как собственная частота колебаний тела массой $m$ на пружине с жесткостью $k$.
Горизонтальный стержень вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов, с постоянной угловой скоростью $\omega$. На стержень насажена шайба массой $M$, соединенная с осью вращения невесомой пружиной, имеющей жесткость $k$ (рис.). Длина нерастянутой пружины $l$. Трение между шайбой и стержнем отсутствует. При каком соотношении между параметрами задачи шайба находится в устойчивом равновесии?
Решение:
Пусть шайба находится на расстоянии х от оси вращения. Тогда на нее со стороны пружины действует сила
$F(x)=k (x-l)$. (1)
Только при $x > l$ эта сила направлена к оси вращения и может выполнять роль центростремительной силы. Величина центростремительной силы $F_{цс}$, под действием которой масса $m$ будет двигаться по окружности радиусом $x$ с угловой скоростью $\omega$, дается формулой
$F_{цс}(x)=m \omega^{2}x$. (2)
Очевидно, что шайба неподвижна относительно вращающегося стержня, т. е. находится в равновесии, если имеет место равенство
$F(x)=F_{цс}(x)$. (3)
Приравнивая правые части равенств (1) и (2), определяем координату $x_{0}$, в которой достигается равновесие:
$x_{0}=\frac{l}{1-m \omega^{2}/k}$
Заметим, что это равенство имеет смысл только при
$x_{0}>0$, т. е. $k > m \omega^{2}$. (4)
Если
$F(x) > F_{цс}(x)$, (5)
то шайба смещается к оси вращения; если же наоборот, то шайба смещается от оси вращения.
Исследуем равновесие на устойчивость. Равновесие устойчиво если при сдвиге шайбы от этого положения $x_{0}$ возникают силы, направленные к положению равновесия. Следовательно, для устойчивости равновесия необходимо, чтобы неравенство (5) выполнялось при $x > x_{0}$, а противоположное неравенство имело место при $x < x_{0}$. Сравнивая правые части равенств (1) и (2), получаем, что неравенство (5) имеет место при $x > x_{0}$, а обратное неравенство – при $x < x_{0}$, если выполнено условие (4).
Окончательный результат: устойчивое равновесие имеет место только при выполнении условия (4). В противном случае нет равновесия и, естественно, нет устойчивости.
Критическое значение частоты вращения, до которой существует состояние устойчивого равновесия:
$\omega_{0}=\sqrt{k/m}$
есть не что иное, как собственная частота колебаний тела массой $m$ на пружине с жесткостью $k$.
