ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-07   
Радиус-вектор частицы меняется со временем $t$ по закону $\vec{r} = \vec{a} t (1 - \alpha t)$, где $\vec{a}$ — постоянный вектор, $\alpha$ — положительная постоянная. Найти:
а) скорость $\vec{v}$ и ускорение $\vec{w}$ частицы в зависимости от времени;
б) промежуток времени $\Delta t$, по истечении которого частица вернется в исходную точку, а также путь $s$, который она пройдет при этом.


Решение:


(a) имеем $\vec{r} = \vec{a} t (1 - \alpha t)$

Таким образом, $\vec{v} = \frac{ d \vec{r}}{dt} = \vec{a} (1 - 2 \alpha t)$

а также $\vec{w} = \frac{ d \vec{v}}{dt} = -2 \alpha \vec{a}$

(б) Из уравнения
$\vec{r} = \vec{a}t(1 - \alpha t)$,
$\vec{r} = 0$, $t = 0$ При $t = 0$, а также при $t = \Delta t = \frac{1}{ \alpha}$

Таким образом, искомое время $\Delta t = \frac{1}{ \alpha}$

Поскольку $\vec{v} = \vec{a} (1 - 2 \alpha t)$, то $v = | \vec{v}| \begin{cases} a (1 - 2 \alpha t), & при ~ t \leq \frac{1}{2 \alpha}, \\ a (2 \alpha t - 1), & при ~ t > \frac{1}{2 \alpha} \end{cases}$

Следовательно, искомое расстояние

$s = \int v dt = \int_{0}^{1/2 \alpha} a (1 - 2 \alpha t) dt + \int_{1/2 \alpha}^{1/ \alpha} a(2 \alpha t - 1) dt$

Упрощая, получаем: $s = \frac{a}{2 \alpha}$