Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3284
2017-05-07 
Две частицы, 1 и 2, движутся с постоянными скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$ по двум взаимно перпендикулярным прямым к точке их пересечения О. В момент $t = 0$ частицы находились на расстояниях $l_{1}$ и $l_{2}$ от точки О. Через сколько времени после этого расстояние между частицами станет наименьшим? Чему оно равно?
Решение:
Пусть частица 1 и 2 находятся в точках B и A в момент времени $ t = 0 $ на расстояниях $ l_{1} $ и $ l_{2} $ от точки пересечения O.
Зафиксируем инерциальную систему с частицей 2. Теперь частица 1 движется относительно этой системы отсчета с относительной скоростью $ \vec{v}_{12} = \vec{v}_{1} - \vec{ V}_{2} $, а ее траектория - прямая BP. Очевидно, что минимальное расстояние между частицами равно длине перпендикуляра AP, опущенного из точки A на прямую BP (рис.).
Из фиг. (б), $ v_{12} = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} $ и $ tg \theta = \frac {v_{1}} {v_{ 2}} $ (1)
Самое короткое расстояние
$ AP = AM \sin \theta = (OA-OM) \sin \theta = (l_{2} - l_{1} ctg \theta) \sin \theta $
Или $ AP = \left (l_{2} - l_{1} \frac {v_{2}} {v_{1}} \right) \frac {v_{1}} {\sqrt {v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}} = \frac {v_{1} l_{2} - v_{2} l_{1}} {\sqrt {v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}} $ (используя 1)
Искомое время может быть получено непосредственно из условия минимальности $ (l_{1} - v_{1} t)^{2} + (l_{2} - v_{2} t)^{2} $. Это дает $ t = \frac {l_{1} v_{1} + l_{2} v_{2}} {v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} $.
Две частицы, 1 и 2, движутся с постоянными скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$ по двум взаимно перпендикулярным прямым к точке их пересечения О. В момент $t = 0$ частицы находились на расстояниях $l_{1}$ и $l_{2}$ от точки О. Через сколько времени после этого расстояние между частицами станет наименьшим? Чему оно равно?
Решение:
Пусть частица 1 и 2 находятся в точках B и A в момент времени $ t = 0 $ на расстояниях $ l_{1} $ и $ l_{2} $ от точки пересечения O.
Зафиксируем инерциальную систему с частицей 2. Теперь частица 1 движется относительно этой системы отсчета с относительной скоростью $ \vec{v}_{12} = \vec{v}_{1} - \vec{ V}_{2} $, а ее траектория - прямая BP. Очевидно, что минимальное расстояние между частицами равно длине перпендикуляра AP, опущенного из точки A на прямую BP (рис.).
Из фиг. (б), $ v_{12} = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} $ и $ tg \theta = \frac {v_{1}} {v_{ 2}} $ (1)
Самое короткое расстояние
$ AP = AM \sin \theta = (OA-OM) \sin \theta = (l_{2} - l_{1} ctg \theta) \sin \theta $
Или $ AP = \left (l_{2} - l_{1} \frac {v_{2}} {v_{1}} \right) \frac {v_{1}} {\sqrt {v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}} = \frac {v_{1} l_{2} - v_{2} l_{1}} {\sqrt {v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}} $ (используя 1)
Искомое время может быть получено непосредственно из условия минимальности $ (l_{1} - v_{1} t)^{2} + (l_{2} - v_{2} t)^{2} $. Это дает $ t = \frac {l_{1} v_{1} + l_{2} v_{2}} {v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} $.
