ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-07   
Точка А движется равномерно со скоростью $v$ так, что вектор $\vec{v}$ все время «нацелен» на точку В, которая в свою очередь движется прямолинейно и равномерно со скоростью $u < v$. В начальный момент $\vec{v} \perp \vec{u}$, и расстояние между точками равно $l$. Через сколько времени точки встретятся?


Решение:



Найдем точки A и B в произвольный момент времени (рис.). Если в этот момент A и B разделены расстоянием $s$, то точки сходятся или точка A приближается к B со скоростью $ \frac {-ds} {dt} = v -u \ cos \alpha $, где угол $\alpha$ меняется со временем .

При интегрировании,

$ - \int_{t}^{0} ds = \int_{0}^{T} (v - u \cos \alpha) dt $,

(Где $T$ - искомое время).

Или $ l = \int_{0}^{T} (v - u \cos \alpha) dt $ (1)

Оба A и B охватывают такое же расстояние в $x$-направлении в течение искомого интервала времени, поэтому условие, которое требуется, может быть получено из уравнения

$ \Delta x = \int v_{x} dt $

Итак, $ uT = \int_{0}^{T} \cos \alpha dt $ (2)

Решая (1) и (2), получим $ T = \frac {ul} {v^{2} - u^{2}} $

Видно, что если $ u = v $ или $ u < v $, то точка A не может перехватить B.