Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 328
2014-05-31 
На абсолютно гладкой горизонтальной поверхности стола на расстоянии $2l$ друг от друга находятся два шарика массой $m$ каждый. Радиусы шариков пренебрежимо малы в сравнении с $l$. Шарики связаны невесомой нерастяжимой нитью длиной $2l$. В начальный момент скорости шариков равны нулю. Среднюю точку нити А начинают двигать с постоянной скоростью $v$ в направлении, перпендикулярном нити и параллельном поверхности (рис. а).
1. Какой путь пройдет точка А до момента столкновения шаров?
2. Какой путь пройдет точка А до того момента, когда скорость шариков относительно поверхности стола снова станут равны нулю? Удар шариков абсолютно упругий.
3. Какую силу надо прикладывать к точке А, чтобы она двигалась с постоянной по величине и направлению скоростью?
Решение:
Перейдем от неподвижной жестко связанной с поверхностью стола системы отсчета к другой инерциальной системе отсчета, в которой точка А покоится, а шарики в начальный момент имеют скорости $\bar{v}$, направленные так, как показано на рис. б.
В выбранной системе отсчета шарики движутся по дугам окружности с радиусом $l$. Так как действующие на шарики со стороны нитей силы натяжения все время перпендикулярны к направлению движения, то шарики движутся по окружности равномерно со скоростью $v$. До момента столкновения каждый шарик пройдет по дуге окружности путь $s$, равный 1/4 длины окружности:
$s = \pi l /2$.
Время движения
$t=s/v= \pi l / (2v)$.
На это же время точка А, двигаясь со скоростью $v$, пройдет в исходной системе отсчета такой же путь:
$L=vt= \pi l /2$.
Для ответа на второй вопрос нам нужно найти путь, пройденный точкой А в исходной системе отсчета к моменту, когда шарики будут иметь скорости $\bar{v}$ в системе отсчета, связанной с точкой А. И этой системе отсчета шарики двигаются из точек $P$ и $P^{\prime}$ по дугам окружности с радиусом $l$ до упругого столкновения в точке Q. Обменявшись в процессе упругого соударения своими скоростями, шарики вновь двигаются по окружности в обратном направлении; они проходят точки $P$ и $P^{\prime}$ с одинаковыми скоростями - $\bar{v}$ и во второй раз сталкиваются в точке R. После обмена скоростями в точке R шарики возвращаются в точки $P$ и $P^{\prime}$, имея одинаковые скорости $\bar{v}$. Таким образом, от начала движения до этого момента каждый шарик, двигаясь равномерно по дуге окружности со скоростью $\bar{v}$, проходит путь, равный длине окружности. За это же время, двигаясь прямолинейно с той же скоростью $v$, точка А в исходной системе отсчета проходит такой же путь $L=2 \pi l$.
Для ответа на третий вопрос заметим, что движение периодично во времени и происходит с периодом $T= 2 \pi l /v$. Рассмотрим силы действующие на шарики и точку А в момент времени, когда нити составляют с осью х угол $\alpha$ (рис. б). В силу того, что обе нити невесомы, они действуют на шарики и точку А с равными по величине силами $\bar{F_{1}}, - \bar{F_{1}}$ и $\bar{F_{2}}, - \bar{F_{2}}$. Под действием сил $\bar{F_{1}}$ и $\bar{F_{2}}$ шарики равномерно движутся по окружности с центростремительным ускорением $v^{2}/l$ и, в соответствии со II законом Ньютона, для $F_{1}$ и $l$ можно написать:
$F_{1}=F_{2}=\frac{mv^{2}}{l}$. (1)
На точку А действует внешняя сила $\bar{F}$, которую надо найти, и также силы $-\bar{F_{1}}$ и $-\bar{F_{2}}$ натяжения нитей. Так как точка А в инерциальной системе отсчета не имеет ускорения, то
$\bar{F}= \bar{F_{1}} +\bar{F_{2}}$. (2)
Отсюда ясно, что сила $\bar{F}$ направлена вдоль оси у. Проецируя равенство (2) на ось у и принимая во внимание равенства (1), для величины силы $F$ находим
$F=(F_{1}+F_{2}) \sin \alpha = 2 \frac{mv^{2}}{l} \sin \alpha$. (3)
Найдем зависимость угла $\alpha$ от времени; при этом условимся угол считать положительным, когда шарики находятся над осью х, а отрицательным, когда они находятся под ней. После начала движения, двигаясь равномерно, шарики за время $t$ проходят путь $s=vt$ за это время нити описывают угол $\alpha$, удовлетворяющий равенству $s=l \alpha$. Отсюда ясно, что $\alpha = vt /l$, и (3) можно записать так:
$F= 2 \frac{mv^{2}}{l} \sin \frac{vt}{l} = F_{max} \sin \frac{vt}{l}$.
Здесь
$F_{max} \equiv 2 \frac{mv^{2}}{l}$
- амплитудное значение силы $\bar{F}$.
Положительные значения $F$ отвечают силе, направленной противоположно оси у, а отрицательные - силе, направленной по оси y.
На абсолютно гладкой горизонтальной поверхности стола на расстоянии $2l$ друг от друга находятся два шарика массой $m$ каждый. Радиусы шариков пренебрежимо малы в сравнении с $l$. Шарики связаны невесомой нерастяжимой нитью длиной $2l$. В начальный момент скорости шариков равны нулю. Среднюю точку нити А начинают двигать с постоянной скоростью $v$ в направлении, перпендикулярном нити и параллельном поверхности (рис. а).
1. Какой путь пройдет точка А до момента столкновения шаров?
2. Какой путь пройдет точка А до того момента, когда скорость шариков относительно поверхности стола снова станут равны нулю? Удар шариков абсолютно упругий.
3. Какую силу надо прикладывать к точке А, чтобы она двигалась с постоянной по величине и направлению скоростью?
Решение:
Перейдем от неподвижной жестко связанной с поверхностью стола системы отсчета к другой инерциальной системе отсчета, в которой точка А покоится, а шарики в начальный момент имеют скорости $\bar{v}$, направленные так, как показано на рис. б.
В выбранной системе отсчета шарики движутся по дугам окружности с радиусом $l$. Так как действующие на шарики со стороны нитей силы натяжения все время перпендикулярны к направлению движения, то шарики движутся по окружности равномерно со скоростью $v$. До момента столкновения каждый шарик пройдет по дуге окружности путь $s$, равный 1/4 длины окружности:
$s = \pi l /2$.
Время движения
$t=s/v= \pi l / (2v)$.
На это же время точка А, двигаясь со скоростью $v$, пройдет в исходной системе отсчета такой же путь:
$L=vt= \pi l /2$.
Для ответа на второй вопрос нам нужно найти путь, пройденный точкой А в исходной системе отсчета к моменту, когда шарики будут иметь скорости $\bar{v}$ в системе отсчета, связанной с точкой А. И этой системе отсчета шарики двигаются из точек $P$ и $P^{\prime}$ по дугам окружности с радиусом $l$ до упругого столкновения в точке Q. Обменявшись в процессе упругого соударения своими скоростями, шарики вновь двигаются по окружности в обратном направлении; они проходят точки $P$ и $P^{\prime}$ с одинаковыми скоростями - $\bar{v}$ и во второй раз сталкиваются в точке R. После обмена скоростями в точке R шарики возвращаются в точки $P$ и $P^{\prime}$, имея одинаковые скорости $\bar{v}$. Таким образом, от начала движения до этого момента каждый шарик, двигаясь равномерно по дуге окружности со скоростью $\bar{v}$, проходит путь, равный длине окружности. За это же время, двигаясь прямолинейно с той же скоростью $v$, точка А в исходной системе отсчета проходит такой же путь $L=2 \pi l$.
Для ответа на третий вопрос заметим, что движение периодично во времени и происходит с периодом $T= 2 \pi l /v$. Рассмотрим силы действующие на шарики и точку А в момент времени, когда нити составляют с осью х угол $\alpha$ (рис. б). В силу того, что обе нити невесомы, они действуют на шарики и точку А с равными по величине силами $\bar{F_{1}}, - \bar{F_{1}}$ и $\bar{F_{2}}, - \bar{F_{2}}$. Под действием сил $\bar{F_{1}}$ и $\bar{F_{2}}$ шарики равномерно движутся по окружности с центростремительным ускорением $v^{2}/l$ и, в соответствии со II законом Ньютона, для $F_{1}$ и $l$ можно написать:
$F_{1}=F_{2}=\frac{mv^{2}}{l}$. (1)
На точку А действует внешняя сила $\bar{F}$, которую надо найти, и также силы $-\bar{F_{1}}$ и $-\bar{F_{2}}$ натяжения нитей. Так как точка А в инерциальной системе отсчета не имеет ускорения, то
$\bar{F}= \bar{F_{1}} +\bar{F_{2}}$. (2)
Отсюда ясно, что сила $\bar{F}$ направлена вдоль оси у. Проецируя равенство (2) на ось у и принимая во внимание равенства (1), для величины силы $F$ находим
$F=(F_{1}+F_{2}) \sin \alpha = 2 \frac{mv^{2}}{l} \sin \alpha$. (3)
Найдем зависимость угла $\alpha$ от времени; при этом условимся угол считать положительным, когда шарики находятся над осью х, а отрицательным, когда они находятся под ней. После начала движения, двигаясь равномерно, шарики за время $t$ проходят путь $s=vt$ за это время нити описывают угол $\alpha$, удовлетворяющий равенству $s=l \alpha$. Отсюда ясно, что $\alpha = vt /l$, и (3) можно записать так:
$F= 2 \frac{mv^{2}}{l} \sin \frac{vt}{l} = F_{max} \sin \frac{vt}{l}$.
Здесь
$F_{max} \equiv 2 \frac{mv^{2}}{l}$
- амплитудное значение силы $\bar{F}$.
Положительные значения $F$ отвечают силе, направленной противоположно оси у, а отрицательные - силе, направленной по оси y.
