Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3268
2017-04-30 
При распаде нейтральной частицы образовалось два фотона, летящих под углами $\alpha$ и $\beta$ к направлению движения частицы. Определить скорость распавшейся частицы.
Решение:
Пусть $W_{0}$ - энергия частицы, а $W_{1}$ и $W_{2}$ - энергии образовавшихся фотонов По закону сохранения энергии $W_{0} = W_{1} + W_{2}$. Пусть масса покоя частицы - $m_{0}$, тогда $W_{0} = \frac{m_{0}c^{2}}{ \sqrt{1 - (v/c)^{2}}}$, где $v$ - скорость частицы.
При распаде частицы выполняется также закон сохранения импульса. Если $\vec{p}_{0}$ - импульс частицы, а $\vec{p}_{1}$ и $\vec{p}_{2}$ - импульсы фотонов, то выполняется векторное равенство $\vec{p}_{0} = \vec{p}_{1} + \vec{p}_{2}$. Введем координатные оси X и Y, как показано на рис. и спроецируем векторное равенство на эти оси. Получим два уравнения: по оси Y: $p_{1} \sin \alpha - p_{2} \sin \beta = 0$, по оси X: $p_{0} = p_{1} \cos \alpha + p_{2} \cos \beta$. Отметим, что $p_{0} = \frac{m_{0}v}{ \sqrt{1 - (v/c)^{2}}}$, а импульсы фотонов равны $p_{1} = \frac{W_{1}}{c}$ и $p_{2} = \frac{W_{2}}{c}$. После с подстановок получаем систему из трех уравнении:
$\begin{cases} W_{1} + W_{2} = W_{0}, \\ \frac{W_{1}}{c} \sin \alpha = \frac{W_{2}}{c} \sin \beta, \\ \frac{W_{1}}{c} \cos \alpha+ \frac{W_{2}}{ c} \cos \beta = p_{0}, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} W_{1} + W_{2} = \frac{m_{0}c^{2}}{ \sqrt{1 - (v-c)^{2}}}, \\ W_{1} \sin \alpha = W_{2} \sin \beta, \\ W_{1} \cos \alpha + W_{2} \cos \beta = \frac{m_{0}vc}{ \sqrt{1 - (v/c)^{2}}}. \end{cases}$
Из второго уравнения $W_{2} = W_{1} \frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta}$. Подставляя в третье уравнение, получаем
$W_{1} \cos \alpha + W_{1} \frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta} \cos \beta = \frac{m_{0}vc}{ \sqrt{1 - (v/c)^{2}}} \Rightarrow W_{1} \frac{ \sin \beta \cos \alpha + \sin \alpha \cos \beta}{ \sin \beta} = \frac{m_{0}vc}{ \sqrt{1 - (v/c)^{2}}} \Rightarrow W_{1} \frac{ \sin ( \alpha + \beta)}{ \sin \beta} = \frac{m_{0}vc}{ \sqrt{1 - (v/c)^{2}}} \Rightarrow W_{1} = \frac{m_{0}vc}{ \sqrt{1 - (v/c)^{2}}} \cdot \frac{ \sin \beta}{ \sin ( \alpha + \beta)} \Rightarrow W_{2} = \frac{m_{0}vc}{ \sqrt{ 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \frac{ \sin \alpha}{ \sin ( \alpha + \beta)}$.
Подставляя найденные значения в первое уравнение системы, получаем:
$\frac{m_{0}vc}{ \sqrt{1 - (v/c)^{2}}} ( \sin \alpha + \sin \beta) = \frac{m_{0}c^{2}}{ \sqrt{1 - (v/c)^{2}}} \Rightarrow v = \frac{c \sin ( \alpha + beta)}{ \sin \alpha + \sin \beta}$.
При распаде нейтральной частицы образовалось два фотона, летящих под углами $\alpha$ и $\beta$ к направлению движения частицы. Определить скорость распавшейся частицы.
Решение:
Пусть $W_{0}$ - энергия частицы, а $W_{1}$ и $W_{2}$ - энергии образовавшихся фотонов По закону сохранения энергии $W_{0} = W_{1} + W_{2}$. Пусть масса покоя частицы - $m_{0}$, тогда $W_{0} = \frac{m_{0}c^{2}}{ \sqrt{1 - (v/c)^{2}}}$, где $v$ - скорость частицы.
При распаде частицы выполняется также закон сохранения импульса. Если $\vec{p}_{0}$ - импульс частицы, а $\vec{p}_{1}$ и $\vec{p}_{2}$ - импульсы фотонов, то выполняется векторное равенство $\vec{p}_{0} = \vec{p}_{1} + \vec{p}_{2}$. Введем координатные оси X и Y, как показано на рис. и спроецируем векторное равенство на эти оси. Получим два уравнения: по оси Y: $p_{1} \sin \alpha - p_{2} \sin \beta = 0$, по оси X: $p_{0} = p_{1} \cos \alpha + p_{2} \cos \beta$. Отметим, что $p_{0} = \frac{m_{0}v}{ \sqrt{1 - (v/c)^{2}}}$, а импульсы фотонов равны $p_{1} = \frac{W_{1}}{c}$ и $p_{2} = \frac{W_{2}}{c}$. После с подстановок получаем систему из трех уравнении:
$\begin{cases} W_{1} + W_{2} = W_{0}, \\ \frac{W_{1}}{c} \sin \alpha = \frac{W_{2}}{c} \sin \beta, \\ \frac{W_{1}}{c} \cos \alpha+ \frac{W_{2}}{ c} \cos \beta = p_{0}, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} W_{1} + W_{2} = \frac{m_{0}c^{2}}{ \sqrt{1 - (v-c)^{2}}}, \\ W_{1} \sin \alpha = W_{2} \sin \beta, \\ W_{1} \cos \alpha + W_{2} \cos \beta = \frac{m_{0}vc}{ \sqrt{1 - (v/c)^{2}}}. \end{cases}$
Из второго уравнения $W_{2} = W_{1} \frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta}$. Подставляя в третье уравнение, получаем
$W_{1} \cos \alpha + W_{1} \frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta} \cos \beta = \frac{m_{0}vc}{ \sqrt{1 - (v/c)^{2}}} \Rightarrow W_{1} \frac{ \sin \beta \cos \alpha + \sin \alpha \cos \beta}{ \sin \beta} = \frac{m_{0}vc}{ \sqrt{1 - (v/c)^{2}}} \Rightarrow W_{1} \frac{ \sin ( \alpha + \beta)}{ \sin \beta} = \frac{m_{0}vc}{ \sqrt{1 - (v/c)^{2}}} \Rightarrow W_{1} = \frac{m_{0}vc}{ \sqrt{1 - (v/c)^{2}}} \cdot \frac{ \sin \beta}{ \sin ( \alpha + \beta)} \Rightarrow W_{2} = \frac{m_{0}vc}{ \sqrt{ 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \frac{ \sin \alpha}{ \sin ( \alpha + \beta)}$.
Подставляя найденные значения в первое уравнение системы, получаем:
$\frac{m_{0}vc}{ \sqrt{1 - (v/c)^{2}}} ( \sin \alpha + \sin \beta) = \frac{m_{0}c^{2}}{ \sqrt{1 - (v/c)^{2}}} \Rightarrow v = \frac{c \sin ( \alpha + beta)}{ \sin \alpha + \sin \beta}$.
