Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3267
2017-04-30 
Термоядерная реакция $_{1}^{2} H + _{2}^{3} He \rightarrow _{2}^{4} He + _{1}^{1} p$ идет с выделением энергии $Q_{1} = 18,4 МэВ$. Какая энергия выделяется в реакции $_{2}^{3} He + _{2}^{3} He \rightarrow _{2}^{4} He + 2 _{1}^{1} p$, если дефект масс ядра $_{2}^{3} He$ на $\Delta m = 0,006$ а.е.м. больше, чем у ядра $_{1}^{2} H$? Какая энергия выделится во второй реакции при синтезе 1кг гелия?
Решение:
Пусть $m_{p}$ - масса протона, $m_{n}$ - масса нейтрона, $m_{1}$ -масса ядра $_{2}^{3} He, m_{2}$ - масса ядра $_{1}^{2} H$. Дефект масс у ядра $_{2}^{3} He$, содержащего 2 протона и 1 нейтрон.
$\Delta m_{1} = (2m_{p} + m_{n}) - m_{1}$. Дефект масс у ядра $_{1}^{2} H$, содержащего 1 протон и 1 нейтрон, $\Delta m_{2} = (m_{p} + m_{n}) - m_{2}$. По условию задачи, $\Delta m = \Delta m_{1} - \Delta m_{2} = (2m_{p} + m_{n}) - m_{1} - (m_{p} - m_{n}) + m_{2} = m_{p} - (m_{1} - m_{2})$. Следовательно, $m_{1} - m_{2} = m_{p} - \Delta m$.
Пусть $m_{3}$ - масса ядра гелия $_{2}^{4} He$, тогда энергетический выход первой ядерной реакции
$Q_{1} = ((m_{1} + m_{2}) - (m_{3} + m_{p})) c^{2}$.
Энергетический выход второй ядерной реакции
$Q_{2} = (2m_{1} - (m_{3} + 2m_{p}))c^{2}$.
Следовательно, $Q_{2} - Q_{1} = (( m_{1} - m_{2}) - m_{p}) c^{2}$. Учитывая, что $m_{1} - m_{2} = m_{p} - \Delta m$, получаем, что $Q_{2} - Q_{1} = - \Delta mc^{2}$. Отсюда $Q_{2} = Q_{1} - \Delta mc^{2}$. Так как 1 а.е.м. соответствует энергия 931 МэВ, то $\Delta mc^{2} = 0,006 \cdot 931 = 5,6 МэВ$ и $Q_{2} = 18,4 - 5,6 = 12,8 МэВ$.
Итак, во второй реакции при синтезе одного ядра гелия $_{2}^{4} He$ выделяется энергия $Q_{2} = 12,8 МэВ$. 1кг гелия содержит $\nu = \frac{1 кг}{4 \cdot 10^{-3} кг/моль} = 0,25 \cdot 10^{3}$ молей и, следовательно, содержит $N = \nu N_{A} = 0,25 \cdot 10^{3} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} = 1,5 \cdot 10^{26}$ атомов гелия. Поэтому при синтезе 1кг гелия во второй реакции выделится энергия
$W = Q_{2}N = 19,2 \cdot 10^{26} МэВ = 19,2 \cdot 10^{32} эВ = 3,1 \cdot 10^{14} Дж$.
Термоядерная реакция $_{1}^{2} H + _{2}^{3} He \rightarrow _{2}^{4} He + _{1}^{1} p$ идет с выделением энергии $Q_{1} = 18,4 МэВ$. Какая энергия выделяется в реакции $_{2}^{3} He + _{2}^{3} He \rightarrow _{2}^{4} He + 2 _{1}^{1} p$, если дефект масс ядра $_{2}^{3} He$ на $\Delta m = 0,006$ а.е.м. больше, чем у ядра $_{1}^{2} H$? Какая энергия выделится во второй реакции при синтезе 1кг гелия?
Решение:
Пусть $m_{p}$ - масса протона, $m_{n}$ - масса нейтрона, $m_{1}$ -масса ядра $_{2}^{3} He, m_{2}$ - масса ядра $_{1}^{2} H$. Дефект масс у ядра $_{2}^{3} He$, содержащего 2 протона и 1 нейтрон.
$\Delta m_{1} = (2m_{p} + m_{n}) - m_{1}$. Дефект масс у ядра $_{1}^{2} H$, содержащего 1 протон и 1 нейтрон, $\Delta m_{2} = (m_{p} + m_{n}) - m_{2}$. По условию задачи, $\Delta m = \Delta m_{1} - \Delta m_{2} = (2m_{p} + m_{n}) - m_{1} - (m_{p} - m_{n}) + m_{2} = m_{p} - (m_{1} - m_{2})$. Следовательно, $m_{1} - m_{2} = m_{p} - \Delta m$.
Пусть $m_{3}$ - масса ядра гелия $_{2}^{4} He$, тогда энергетический выход первой ядерной реакции
$Q_{1} = ((m_{1} + m_{2}) - (m_{3} + m_{p})) c^{2}$.
Энергетический выход второй ядерной реакции
$Q_{2} = (2m_{1} - (m_{3} + 2m_{p}))c^{2}$.
Следовательно, $Q_{2} - Q_{1} = (( m_{1} - m_{2}) - m_{p}) c^{2}$. Учитывая, что $m_{1} - m_{2} = m_{p} - \Delta m$, получаем, что $Q_{2} - Q_{1} = - \Delta mc^{2}$. Отсюда $Q_{2} = Q_{1} - \Delta mc^{2}$. Так как 1 а.е.м. соответствует энергия 931 МэВ, то $\Delta mc^{2} = 0,006 \cdot 931 = 5,6 МэВ$ и $Q_{2} = 18,4 - 5,6 = 12,8 МэВ$.
Итак, во второй реакции при синтезе одного ядра гелия $_{2}^{4} He$ выделяется энергия $Q_{2} = 12,8 МэВ$. 1кг гелия содержит $\nu = \frac{1 кг}{4 \cdot 10^{-3} кг/моль} = 0,25 \cdot 10^{3}$ молей и, следовательно, содержит $N = \nu N_{A} = 0,25 \cdot 10^{3} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} = 1,5 \cdot 10^{26}$ атомов гелия. Поэтому при синтезе 1кг гелия во второй реакции выделится энергия
$W = Q_{2}N = 19,2 \cdot 10^{26} МэВ = 19,2 \cdot 10^{32} эВ = 3,1 \cdot 10^{14} Дж$.
