Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3237
2017-04-30 
От точечного монохроматического источника A отодвигают точечный монохроматический источник В (источники когерентны и синфазны) до тех пор, пока в точке О, где наблюдается интерференция, не наступает потемнение. При этом расстояние между A и B $d = 2 мм$. Расстояние между источником и экраном $L = 9 м$. На сколько нужно передвинуть экран, чтобы в точке $O_{1}$ возникло потемнение?
Решение:
При удалении источника В первое потемнение в точке О возникает при условии, что разность хода волн от источников В и А равна половине длины волны, т.е. $BO - AO = \lambda /2В$ или $\sqrt{L^{2} + d^{2}} - L = \frac{ \lambda}{2} \Rightarrow \sqrt{ L^{2} \left ( 1 + \frac{d^{2}}{L^{2}} \right )} - L = \frac{ \lambda}{2} \Rightarrow L \left ( \sqrt{1 + \left ( \frac{d}{L} \right )^{2}} - 1 \right ) = \frac{ \lambda}{2}$ (1)
В задаче 3233 отмечалось, что при $|x| \ll 1 ~ \sqrt{1 + x} = 1 + \frac{1}{2} x$. В нашей задаче $\frac{d}{L} \ll 1$, поэтому $\sqrt{1 + \left ( \frac{d}{L} \right )^{2}} = 1 + \frac{1}{2} \left ( \frac{d}{L} \right )^{2}$ и, следовательно, уравнение (1) приводится к виду:
$\frac{d^{2}}{2L} = \frac{ \lambda}{2} \Rightarrow d^{2} = L \lambda$.
Если экран приблизить к источникам на расстояние $x$, то минимум в точке $O_{1}$ будет соответствовать разности хода $\frac{3}{2} \lambda$, т.е. $BO_{1} - AO_{1} = \frac{6}{2} \lambda$ или $\sqrt{(L-x)^{2} + d^{2}} - (L-x) = \frac{3}{2} \lambda$. Следовательно, $(L - x) \left ( \sqrt{1 + \left ( \frac{d}{L-x} \right )^{2}} - 1 \right ) = \frac{3}{2} \lambda$.
Учитывая, что и в этом случае $\frac{d}{L - x} \ll 1$, приходим к уравнению $\frac{d^{2}}{2(L - x)} = \frac{3 \lambda}{2} \Rightarrow d^{2} = 3 (L-x) \lambda$. Приравнивая выражения для $d^{2}$, получаем: $L \lambda = 3 (L - x) \lambda \Rightarrow x = \frac{2}{3} L = 6 м$.
От точечного монохроматического источника A отодвигают точечный монохроматический источник В (источники когерентны и синфазны) до тех пор, пока в точке О, где наблюдается интерференция, не наступает потемнение. При этом расстояние между A и B $d = 2 мм$. Расстояние между источником и экраном $L = 9 м$. На сколько нужно передвинуть экран, чтобы в точке $O_{1}$ возникло потемнение?
Решение:
При удалении источника В первое потемнение в точке О возникает при условии, что разность хода волн от источников В и А равна половине длины волны, т.е. $BO - AO = \lambda /2В$ или $\sqrt{L^{2} + d^{2}} - L = \frac{ \lambda}{2} \Rightarrow \sqrt{ L^{2} \left ( 1 + \frac{d^{2}}{L^{2}} \right )} - L = \frac{ \lambda}{2} \Rightarrow L \left ( \sqrt{1 + \left ( \frac{d}{L} \right )^{2}} - 1 \right ) = \frac{ \lambda}{2}$ (1)
В задаче 3233 отмечалось, что при $|x| \ll 1 ~ \sqrt{1 + x} = 1 + \frac{1}{2} x$. В нашей задаче $\frac{d}{L} \ll 1$, поэтому $\sqrt{1 + \left ( \frac{d}{L} \right )^{2}} = 1 + \frac{1}{2} \left ( \frac{d}{L} \right )^{2}$ и, следовательно, уравнение (1) приводится к виду:
$\frac{d^{2}}{2L} = \frac{ \lambda}{2} \Rightarrow d^{2} = L \lambda$.
Если экран приблизить к источникам на расстояние $x$, то минимум в точке $O_{1}$ будет соответствовать разности хода $\frac{3}{2} \lambda$, т.е. $BO_{1} - AO_{1} = \frac{6}{2} \lambda$ или $\sqrt{(L-x)^{2} + d^{2}} - (L-x) = \frac{3}{2} \lambda$. Следовательно, $(L - x) \left ( \sqrt{1 + \left ( \frac{d}{L-x} \right )^{2}} - 1 \right ) = \frac{3}{2} \lambda$.
Учитывая, что и в этом случае $\frac{d}{L - x} \ll 1$, приходим к уравнению $\frac{d^{2}}{2(L - x)} = \frac{3 \lambda}{2} \Rightarrow d^{2} = 3 (L-x) \lambda$. Приравнивая выражения для $d^{2}$, получаем: $L \lambda = 3 (L - x) \lambda \Rightarrow x = \frac{2}{3} L = 6 м$.
