Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3233
2017-04-30 
Два точечных когерентных источника света $S_{1}$ и $S_{2}$ расположены на расстоянии $d$ друг от друга. На расстоянии $L \gg d$ от источников помещен экран. Найти расстояние между соседними интерференционными полосами вблизи середины экрана, если источники излучают свет с длиной волны $\lambda$.
Решение:
Пусть А - точка, в которой наблюдается интерференционный максимум, расположена на расстоянии $h$ от середины экрана О. Разность хода световых волн, излучаемых источниками, равна $S_{2}A - S_{1}A$. Из прямоугольного $\Delta S_{1}AB: S_{1}A^{2} = S_{1}B^{2} + AB^{2} = L^{2} + (h - d/2)^{2} = L^{2} \left ( 1 + \frac{(h-d/2)^{2}}{L^{2}} \right )$.
$S_{1}A = L \sqrt{1 + \left ( \frac{h - d/2}{L} \right )^{2}}$
По условию задачи $d \ll L$ и $h \ll L$, поэтому $\frac{(h - d/2)}{L} \ll 1$. Известно, что при $|x| \ll 1 ~ \sqrt{1 + x} = 1 + \frac{1}{2} x$, поэтому
$S_{1}A = L \left ( 1 + \frac{1}{2} \left ( \frac{h - d/2}{L} \right )^{2} \right ) = L + \frac{1}{2} \frac{(h - d/2)^{2}}{L}$.
Из прямоугольного $\Delta S_{2} AC$:
$S_{2}A^{2} = S_{2}C^{2} + AC^{2} = L^{2} + (h + d/2)^{2}$ или $S_{2}A^{2} = L^{2} \left ( 1 + \left ( \frac{h + d/2}{L} \right )^{2} \right ) \Rightarrow S_{2}A = L \sqrt{ 1 + \left ( \frac{h + d/2}{L} \right )^{2}}$.
Так как $\frac{(h + d/2)}{L} \ll 1$, то
$S_{2}A = L \left ( 1 + \frac{1}{2} \left ( \frac{h + d/2}{L} \right )^{2} \right ) = L + \frac{1}{2} \frac{(h + d/2)^{2}}{L}$.
Следовательно, разность хода $S_{2}A - S_{1}A = \frac{1}{2} \frac{(h + d/2)^{2}}{L} - \frac{1}{2} \frac{(h - d/2)^{2}}{L} = \frac{(h + d/2)^{2} - (h - d/2)^{2}}{2L} = \frac{hd}{L}$.
С другой стороны, так как А - точка интерференционного максимума, то $S_{2}A - S_{1}A = k \lambda$, где $k = 0,1,2$. Следовательно, $k \lambda = \frac{hd}{L}$. Отсюда получаем, что интерференционные максимумы располагаются на экране симметрично относительно линии $O_{1}O$ на расстояниях
$h = h_{k} = k \frac{ \lambda}{d} L$.
Максимум, соответствующий целому числу $k$, называется максимумом порядка $k$.
Максимум $(k + 1)$ порядка будет находиться на расстоянии $h_{k+1} = \frac{(k+1) \lambda L}{d}$ от середины экрана. Расстояние между максимумами:
$h_{k+1} - h_{k} = \frac{(k+1) \lambda L}{d} - \frac{k \lambda L}{d} = \lambda \frac{L}{d}$
Из последней формулы следует, что расстояние между максимумами тем больше, чем больше отношение $L/d$.
Два точечных когерентных источника света $S_{1}$ и $S_{2}$ расположены на расстоянии $d$ друг от друга. На расстоянии $L \gg d$ от источников помещен экран. Найти расстояние между соседними интерференционными полосами вблизи середины экрана, если источники излучают свет с длиной волны $\lambda$.
Решение:
Пусть А - точка, в которой наблюдается интерференционный максимум, расположена на расстоянии $h$ от середины экрана О. Разность хода световых волн, излучаемых источниками, равна $S_{2}A - S_{1}A$. Из прямоугольного $\Delta S_{1}AB: S_{1}A^{2} = S_{1}B^{2} + AB^{2} = L^{2} + (h - d/2)^{2} = L^{2} \left ( 1 + \frac{(h-d/2)^{2}}{L^{2}} \right )$.
$S_{1}A = L \sqrt{1 + \left ( \frac{h - d/2}{L} \right )^{2}}$
По условию задачи $d \ll L$ и $h \ll L$, поэтому $\frac{(h - d/2)}{L} \ll 1$. Известно, что при $|x| \ll 1 ~ \sqrt{1 + x} = 1 + \frac{1}{2} x$, поэтому
$S_{1}A = L \left ( 1 + \frac{1}{2} \left ( \frac{h - d/2}{L} \right )^{2} \right ) = L + \frac{1}{2} \frac{(h - d/2)^{2}}{L}$.
Из прямоугольного $\Delta S_{2} AC$:
$S_{2}A^{2} = S_{2}C^{2} + AC^{2} = L^{2} + (h + d/2)^{2}$ или $S_{2}A^{2} = L^{2} \left ( 1 + \left ( \frac{h + d/2}{L} \right )^{2} \right ) \Rightarrow S_{2}A = L \sqrt{ 1 + \left ( \frac{h + d/2}{L} \right )^{2}}$.
Так как $\frac{(h + d/2)}{L} \ll 1$, то
$S_{2}A = L \left ( 1 + \frac{1}{2} \left ( \frac{h + d/2}{L} \right )^{2} \right ) = L + \frac{1}{2} \frac{(h + d/2)^{2}}{L}$.
Следовательно, разность хода $S_{2}A - S_{1}A = \frac{1}{2} \frac{(h + d/2)^{2}}{L} - \frac{1}{2} \frac{(h - d/2)^{2}}{L} = \frac{(h + d/2)^{2} - (h - d/2)^{2}}{2L} = \frac{hd}{L}$.
С другой стороны, так как А - точка интерференционного максимума, то $S_{2}A - S_{1}A = k \lambda$, где $k = 0,1,2$. Следовательно, $k \lambda = \frac{hd}{L}$. Отсюда получаем, что интерференционные максимумы располагаются на экране симметрично относительно линии $O_{1}O$ на расстояниях
$h = h_{k} = k \frac{ \lambda}{d} L$.
Максимум, соответствующий целому числу $k$, называется максимумом порядка $k$.
Максимум $(k + 1)$ порядка будет находиться на расстоянии $h_{k+1} = \frac{(k+1) \lambda L}{d}$ от середины экрана. Расстояние между максимумами:
$h_{k+1} - h_{k} = \frac{(k+1) \lambda L}{d} - \frac{k \lambda L}{d} = \lambda \frac{L}{d}$
Из последней формулы следует, что расстояние между максимумами тем больше, чем больше отношение $L/d$.
