Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3231
2017-04-30 
Вдоль оси X распространяются в противоположных направлениях две плоские волны с одинаковой частотой $\omega$ и амплитудой $A$. Что получится в результате сложения этих волн?
Решение:
Уравнение одной из волн можно записать в виде: $s_{1}(x, t) = A \cos ( \omega t - kx)$, тогда уравнение волны, распространяющейся навстречу: $s_{2}(x, t) = A \cos ( \omega t + kx)$, где $k = \frac{2 \pi}{ \lambda}$, где $k = \frac{2 \pi}{ \lambda}$ - волновое число. В результате сложения получаем:
$s(x, t) = s_{1} + s_{2} = A \cos ( \omega t - kx) + A \cos ( \omega t + kx) = A ( \cos ( \omega t - kx) + \cos ( \omega t + kx)) = 2A \cos \left ( \frac{( \omega t - kx) + ( \omega t + kx)}{2} \right ) \cos \left ( \frac{( \omega t - kx) - ( \omega t + kx)}{2} \right ) = 2 A \cos \omega t \cos kx$.
Как видно, после сложения образуется волна $s(x, t)$ с амплитудой колебаний, равной $2A$. Отметим также, что $\cos kx = 0$ при $kx = \frac{ \pi}{2} + \pi n = \frac{ \pi}{2}(2n + l)$, где $n = 0,1,2, \cdots$ ($n < 0$ не подходит по смыслу задачи). Следовательно, в точках волны $x_{0} = \frac{ \pi}{2k} (2n+1)$ отклонение $s(x, t) = 0$. Подставляя $k = \frac{2 \pi}{ \lambda}$, получаем $x_{n} = \frac{ \lambda}{4} (2n + 1)$. Расстояние между любыми двумя соседними точками волны, в которых отклонение обращается в ноль, равно
$x_{n+1} - x_{n} = \frac{ \lambda}{4} (2(n+1) + 1) - \frac{ \lambda}{4} (2n+1) = \frac{ \lambda}{4}$.
Волну, задаваемую уравнением
$s(x, t) = 2A \cos \omega t \cos kx$ (**)
называют стоячей волной, а ее неподвижные точки $x_{n}$ называют узлами волны. Все точки волны, расположенные между двумя узлами, колеблются в одинаковых фазах; при переходе через узел фаза колебаний точек изменяется на $\pi$. Стоячая волна не переносит энергию.
На рис. представлена стоячая волна для трех различных моментов времени $t_{1}, t_{2}, t_{3}$.
Вдоль оси X распространяются в противоположных направлениях две плоские волны с одинаковой частотой $\omega$ и амплитудой $A$. Что получится в результате сложения этих волн?
Решение:
Уравнение одной из волн можно записать в виде: $s_{1}(x, t) = A \cos ( \omega t - kx)$, тогда уравнение волны, распространяющейся навстречу: $s_{2}(x, t) = A \cos ( \omega t + kx)$, где $k = \frac{2 \pi}{ \lambda}$, где $k = \frac{2 \pi}{ \lambda}$ - волновое число. В результате сложения получаем:
$s(x, t) = s_{1} + s_{2} = A \cos ( \omega t - kx) + A \cos ( \omega t + kx) = A ( \cos ( \omega t - kx) + \cos ( \omega t + kx)) = 2A \cos \left ( \frac{( \omega t - kx) + ( \omega t + kx)}{2} \right ) \cos \left ( \frac{( \omega t - kx) - ( \omega t + kx)}{2} \right ) = 2 A \cos \omega t \cos kx$.
Как видно, после сложения образуется волна $s(x, t)$ с амплитудой колебаний, равной $2A$. Отметим также, что $\cos kx = 0$ при $kx = \frac{ \pi}{2} + \pi n = \frac{ \pi}{2}(2n + l)$, где $n = 0,1,2, \cdots$ ($n < 0$ не подходит по смыслу задачи). Следовательно, в точках волны $x_{0} = \frac{ \pi}{2k} (2n+1)$ отклонение $s(x, t) = 0$. Подставляя $k = \frac{2 \pi}{ \lambda}$, получаем $x_{n} = \frac{ \lambda}{4} (2n + 1)$. Расстояние между любыми двумя соседними точками волны, в которых отклонение обращается в ноль, равно
$x_{n+1} - x_{n} = \frac{ \lambda}{4} (2(n+1) + 1) - \frac{ \lambda}{4} (2n+1) = \frac{ \lambda}{4}$.
Волну, задаваемую уравнением
$s(x, t) = 2A \cos \omega t \cos kx$ (**)
называют стоячей волной, а ее неподвижные точки $x_{n}$ называют узлами волны. Все точки волны, расположенные между двумя узлами, колеблются в одинаковых фазах; при переходе через узел фаза колебаний точек изменяется на $\pi$. Стоячая волна не переносит энергию.
На рис. представлена стоячая волна для трех различных моментов времени $t_{1}, t_{2}, t_{3}$.
