Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 323
2014-05-31 
Идет дождь. Скорость капель направлена под углом $\alpha$ к вертикали, количество воды в единице объема воздуха равно $\rho$. Вам надо пройти под дождем путь $l$, причем ветер попутный. С какой скоростью надо двигаться, чтобы промокнуть как можно меньше, если:
а) вы сверху защищены, а можете промокнуть только спереди или сзади;
б) вы хотите, чтобы на вас попало минимальное количество воды все равно откуда, причем ваша площадь при виде сверху равна $S_{1}$, а при виде спереди - $S_{2}$.
Решение:
Пусть скорость капель $v$, ваша скорость - $u$. Перейдем в систему отсчета, связанную с вами; вектор скорости капель в этой системе отсчета обозначим $\bar{v^{\prime}}$. Вертикальная составляющая скорости в этой системе та же, что и в исходной:
$v^{\prime}_{x}=v \cos \alpha$;
горизонтальная составляющая будет равной
$v^{\prime}_{y}=v \sin \alpha - u$.
За время $t$ через площадку $S_{1}$ пройдет количество воды
$m_{1}=S_{1}v^{\prime}_{y}t \rho$
- та вода, которая попадет на вас сверху. За то же время через $S_{2}$ пройдет масса воды
$m_{2}=S_{2}|v^{\prime}_{x}|t \rho = S_{2} |v \sin \alpha – u | t \rho$.
Путь $l$ вы прошли за время $t=l/u$. Полное количество упавшей на вас воды:
$m=m_{1}+m_{2}=(S_{1}v \cos \alpha + S_{2} |v \sin \alpha - u|) \rho l /u$. (1)
а) В этом случае вода сверху не попадает, $S_{1} = 0$ и из формулы (1) получаем
$m_{min}=0$ при $u=v \sin \alpha$.
При такой скорости дождь падает на вас только сверху.
б) Перепишем равенство (1) в виде
$m = \rho l v (S_{1} \cos \alpha u^{-1} + S_{2} \sin \alpha |u^{-1} – (v \sin \alpha)^{-1}|)$.
Теперь нетрудно показать следующее: при
$S_{1}/S_{2} > tg \: \alpha$
надо идти как можно быстрее (так, чтобы $u \rightarrow \infty$), при этом
$m_{min}= \rho l S_{2}$;
при
$S_{1}/S_{2} < tg \: \alpha$
надо двигаться со скоростью $u = v \sin \alpha$, при этом
$m_{min}= \rho l S_{1} ctg \: \alpha$.
Идет дождь. Скорость капель направлена под углом $\alpha$ к вертикали, количество воды в единице объема воздуха равно $\rho$. Вам надо пройти под дождем путь $l$, причем ветер попутный. С какой скоростью надо двигаться, чтобы промокнуть как можно меньше, если:
а) вы сверху защищены, а можете промокнуть только спереди или сзади;
б) вы хотите, чтобы на вас попало минимальное количество воды все равно откуда, причем ваша площадь при виде сверху равна $S_{1}$, а при виде спереди - $S_{2}$.
Решение:
Пусть скорость капель $v$, ваша скорость - $u$. Перейдем в систему отсчета, связанную с вами; вектор скорости капель в этой системе отсчета обозначим $\bar{v^{\prime}}$. Вертикальная составляющая скорости в этой системе та же, что и в исходной:
$v^{\prime}_{x}=v \cos \alpha$;
горизонтальная составляющая будет равной
$v^{\prime}_{y}=v \sin \alpha - u$.
За время $t$ через площадку $S_{1}$ пройдет количество воды
$m_{1}=S_{1}v^{\prime}_{y}t \rho$
- та вода, которая попадет на вас сверху. За то же время через $S_{2}$ пройдет масса воды
$m_{2}=S_{2}|v^{\prime}_{x}|t \rho = S_{2} |v \sin \alpha – u | t \rho$.
Путь $l$ вы прошли за время $t=l/u$. Полное количество упавшей на вас воды:
$m=m_{1}+m_{2}=(S_{1}v \cos \alpha + S_{2} |v \sin \alpha - u|) \rho l /u$. (1)
а) В этом случае вода сверху не попадает, $S_{1} = 0$ и из формулы (1) получаем
$m_{min}=0$ при $u=v \sin \alpha$.
При такой скорости дождь падает на вас только сверху.
б) Перепишем равенство (1) в виде
$m = \rho l v (S_{1} \cos \alpha u^{-1} + S_{2} \sin \alpha |u^{-1} – (v \sin \alpha)^{-1}|)$.
Теперь нетрудно показать следующее: при
$S_{1}/S_{2} > tg \: \alpha$
надо идти как можно быстрее (так, чтобы $u \rightarrow \infty$), при этом
$m_{min}= \rho l S_{2}$;
при
$S_{1}/S_{2} < tg \: \alpha$
надо двигаться со скоростью $u = v \sin \alpha$, при этом
$m_{min}= \rho l S_{1} ctg \: \alpha$.
