2014-05-31
Тонкая плосковыпуклая линза с оптической силой $D$ вставлена в стенку аквариума плоской стороной к воде. Найдите фокусные расстояния получившейся системы. Абсолютный показатель преломления воды $n_{1}$.
Решение:
Пусть линза вставлена в левую стенку аквариума (рис.). Найдем сначала положение правого фокуса. С этой целью рассмотрим луч, идущий в воздухе слева направо параллельно главной оптической оси $OO^{\prime}$ на малом расстоянии $h$ от нее. Этот луч сначала преломляется на выпуклой поверхности линзы и падает на ее плоскую поверхность на расстоянии $h^{\prime} < h$ от главной оптической оси под некоторым углом $\alpha$. В результате преломления на плоской поверхности линзы рассматриваемый луч входит в воду под некоторым углом $\beta$. Углы $\alpha$ и $\beta$ связаны друг с другом соотношением
$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}=n$, (1)
где $n$ - показатель преломления воды относительно стекла. В воде луч распространяется по прямой линии и пересекает главную оптическую ось в правом фокусе на некотором расстоянии $f_{2}$ от линзы. Это расстояние связано с расстоянием $h^{\prime}$ и углом $\beta$ формулой
$\frac{h^{\prime}}{f_{2}} = tg \: \beta$. (2)
Рассмотрим теперь ход этого же луча, когда в аквариуме воды нет и справа от линзы находится воздух. В этом случае луч падает на плоскую поверхность линзы под тем же углом $\alpha$ и на том же расстоянии $h^{\prime}$ от главной оптической оси, что и раньше. Выходит в воздух этот луч под некоторым углом $\gamma$, связанным с углом $\alpha$ соотношением
$\frac{\sin \alpha}{\sin \gamma}=n^{\prime}$, (3)
где $n^{\prime}$ - показатель преломления воздуха относительно стекла. Луч пересекает главную оптическую ось на расстоянии $f$ от линзы, которое связано с расстоянием $h^{\prime}$ и углом $\gamma$ формулой: $h^{\prime}/f=tg \: \gamma$, которую, принимая во внимание, что $f=D^{-1}$, можно записать так:
$h^{\prime} D = tg \: \gamma$. (4)
Из (2) и (4) для $f_{2}$ получаем
$f_{2}=\frac{1}{D} \frac{tg \: \gamma}{tg \: \beta}$. (5)
Так как расстояние $h$, а следовательно и $h^{\prime}$, мало, то малы углы $\alpha, \beta$ и $\gamma$. В связи с этим $\sin \alpha \approx tg \: \alpha \approx \alpha, \sin \beta \approx tg \: \beta \approx \beta$ и $\sin \gamma \approx tg \: \gamma \approx \gamma$. С учетом этого формулы (1), (3) и (5) принимают соответственно вид
$\frac{\alpha}{\beta}=n$, (6)
$\frac{\alpha}{\gamma}=n^{\prime}$, (7)
$f_{2}=\frac{1}{D} \frac{\gamma}{\beta}$. (8)
Из системы уравнений (6)-(8) получаем
$f_{2}=\frac{1}{D} \frac{n}{n^{\prime}}$. (9)
Показатели преломления воды относительно стекла и воздуха относительно стекла можно выразить через абсолютные показатели преломления воды $n_{1}$, стекла $n_{2}$ и воздуха $n_{3}$: $n=n_{1}/n_{2}; h^{\prime}=n_{3}/n_{2}$.
С учетом этих равенств формула (9) принимает вид
$f_{2}=\frac{1}{D} \frac{n_{1}}{n_{3}}$
Абсолютный показатель преломления воздуха практически не отличается от единицы, т. е. $n_{3}=1$, поэтому окончательно:
$f_{2}=n_{1}/D$.
Для нахождения левого фокусного расстояния надо рассмотреть ход луча, идущего справа налево параллельно главной оптический оси. Поскольку этот луч падает на правую плоскую поверхность линзы под углом $\alpha=0$, то, независимо от того, какая среда заполняет аквариум, ход его один и тот же. Поэтому
$f_{1}=f=1/D$