Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3216
2017-04-30 
Расстояние между двумя точечными источниками света $L = 36 см$. Где между ними надо поместить собирающую линзу с фокусным расстоянием $F = 10 см$, чтобы изображения обоих источников получились в одной точке?
Решение:
Так как линза расположена между источниками, то их действительные изображения совпадать не могут. Не могут совпадать и их мнимые изображения. Остается только одна возможность, когда изображение одного источника - действительное, другого - мнимое.
Пусть $d_{1}$ и $d_{2}$ - расстояния от источников до линзы. Предположим для определенности, что изображение первого источника - действительное, а изображение второго - мнимое, расстояния от изображений до линзы соответственно - $f_{1}$ и $f_{2}$, причем $f_{1} > 0, f_{2} < 0$. Применяя формулу линзы, выражаем $f_{1} = \frac{d_{1}F}{d_{1} - F}$ и $f_{2} = \frac{d_{2}F}{d_{2} - F}$. По условию задачи $f_{1} = - f_{2} \Rightarrow \frac{d_{1}F}{d_{1} - F} = - \frac{d_{2}F}{d_{2} - F} \Rightarrow d_{1}(F-d_{2}) = d_{2} (d_{1} - F) \Rightarrow F(d_{1} + d_{2}) = 2d_{1}d_{2}$.
Из условия следует, что $d_{1} + d_{2} = L$. После подстановки получаем систему
$\begin{cases} 2d_{1}d_{2} = FL, \\ d_{1} + d_{2} = L. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2d_{1}(L-d_{1}) = FL, \\ d_{2} = L - d_{1}, \end{cases} \Rightarrow 2d_{1}^{2} -2Ld_{1} + FL = 0 \Rightarrow (d_{1})_{1,2} = \frac{L \pm \sqrt{L^{2} - 2FL}}{2} = \frac{L}{2} \left ( 1 \pm \sqrt{1 - \frac{2F}{L}} \right )$.
$\begin{cases} (d_{1})_{1} = 30 см, \\ (d_{2})_{1} = 6 см. \end{cases}$ или $\begin{cases} (d_{1})_{2} = 60 см, \\ (d_{2})_{2} = 30 см \end{cases}$
Расстояние между двумя точечными источниками света $L = 36 см$. Где между ними надо поместить собирающую линзу с фокусным расстоянием $F = 10 см$, чтобы изображения обоих источников получились в одной точке?
Решение:
Так как линза расположена между источниками, то их действительные изображения совпадать не могут. Не могут совпадать и их мнимые изображения. Остается только одна возможность, когда изображение одного источника - действительное, другого - мнимое.
Пусть $d_{1}$ и $d_{2}$ - расстояния от источников до линзы. Предположим для определенности, что изображение первого источника - действительное, а изображение второго - мнимое, расстояния от изображений до линзы соответственно - $f_{1}$ и $f_{2}$, причем $f_{1} > 0, f_{2} < 0$. Применяя формулу линзы, выражаем $f_{1} = \frac{d_{1}F}{d_{1} - F}$ и $f_{2} = \frac{d_{2}F}{d_{2} - F}$. По условию задачи $f_{1} = - f_{2} \Rightarrow \frac{d_{1}F}{d_{1} - F} = - \frac{d_{2}F}{d_{2} - F} \Rightarrow d_{1}(F-d_{2}) = d_{2} (d_{1} - F) \Rightarrow F(d_{1} + d_{2}) = 2d_{1}d_{2}$.
Из условия следует, что $d_{1} + d_{2} = L$. После подстановки получаем систему
$\begin{cases} 2d_{1}d_{2} = FL, \\ d_{1} + d_{2} = L. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2d_{1}(L-d_{1}) = FL, \\ d_{2} = L - d_{1}, \end{cases} \Rightarrow 2d_{1}^{2} -2Ld_{1} + FL = 0 \Rightarrow (d_{1})_{1,2} = \frac{L \pm \sqrt{L^{2} - 2FL}}{2} = \frac{L}{2} \left ( 1 \pm \sqrt{1 - \frac{2F}{L}} \right )$.
$\begin{cases} (d_{1})_{1} = 30 см, \\ (d_{2})_{1} = 6 см. \end{cases}$ или $\begin{cases} (d_{1})_{2} = 60 см, \\ (d_{2})_{2} = 30 см \end{cases}$
