Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3215
2017-04-30 
Расстояние от освещенного предмета до экрана $L = 100 см$. Линза, помещенная между ними, дает четкое изображение предмета на экране при двух положениях, расстояние между которыми $l = 20 см$. Найти фокусное расстояние линзы.
Решение:
Так как изображение получено на экране, то оно является действительным, следовательно, линза является собирающей. АВ - предмет, $A_{1}B_{1}$ - его изображение, тогда $AO = d$ и $A_{1}O = f$, причем по условию задачи $f + d = L$. Поэтому $f(d) = L - d$. График этой зависимости - прямая линия. Кроме того, из формулы тонкой линзы $f(d) = \frac{Fd}{d-F}$. График этой зависимости был построен в задаче 3212. Графики обеих зависимостей представлены на рис.. Прямая $f(d) = L - d$ может не иметь ни одной общей точки с гиперболой (прямая АВ), одну общую точку (прямая CD), две общие точки, соответствующие двум разным расстояниям от предмета до линзы (прямая MN).
Найдем эти точки из уравнения $\frac{Fd}{d-F} = L-d \Rightarrow d^{2} - Ld + LF = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = L^{2} - 4LF = L^{2} \left ( 1 - \frac{4F}{L} \right )$. Уравнение будет иметь решения, если $D \geq 0 \Rightarrow L^{2} \left ( 1 - \frac{4F}{L} \right ) \geq 0 \Rightarrow 4F \leq L$, что в нашей задаче выполняется.
Решения запишутся в виде: $d = \frac{1}{2} \left ( L \pm \sqrt{ L^{2} \left ( 1 - \frac{4F}{L} \right )} \right ) = \frac{L}{2} \left ( 1 \pm \sqrt{1 - \frac{4F}{L}} \right )$, причем оба корня положительны. Разность этих корней $d_{1} - d_{2}$, по условию задачи, равна $l$, отсюда $\frac{L}{2} \left ( 1 + \sqrt{ 1 - \frac{4F}{L}} \right ) - \frac{L}{2} \left ( 1 - \sqrt{ 1 - \frac{4F}{L}} \right ) = l \Rightarrow L \sqrt{1 - \frac{4F}{L}} = l \Rightarrow 1 - \frac{4F}{L} = \frac{l^{2}}{L^{2}} \Rightarrow \frac{4F}{L} = 1 - \frac{l^{2}}{L^{2}} \Rightarrow F = \frac{L^{2} - l^{2}}{4L} = 24 см$.
Расстояние от освещенного предмета до экрана $L = 100 см$. Линза, помещенная между ними, дает четкое изображение предмета на экране при двух положениях, расстояние между которыми $l = 20 см$. Найти фокусное расстояние линзы.
Решение:
Так как изображение получено на экране, то оно является действительным, следовательно, линза является собирающей. АВ - предмет, $A_{1}B_{1}$ - его изображение, тогда $AO = d$ и $A_{1}O = f$, причем по условию задачи $f + d = L$. Поэтому $f(d) = L - d$. График этой зависимости - прямая линия. Кроме того, из формулы тонкой линзы $f(d) = \frac{Fd}{d-F}$. График этой зависимости был построен в задаче 3212. Графики обеих зависимостей представлены на рис.. Прямая $f(d) = L - d$ может не иметь ни одной общей точки с гиперболой (прямая АВ), одну общую точку (прямая CD), две общие точки, соответствующие двум разным расстояниям от предмета до линзы (прямая MN).
Найдем эти точки из уравнения $\frac{Fd}{d-F} = L-d \Rightarrow d^{2} - Ld + LF = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = L^{2} - 4LF = L^{2} \left ( 1 - \frac{4F}{L} \right )$. Уравнение будет иметь решения, если $D \geq 0 \Rightarrow L^{2} \left ( 1 - \frac{4F}{L} \right ) \geq 0 \Rightarrow 4F \leq L$, что в нашей задаче выполняется.
Решения запишутся в виде: $d = \frac{1}{2} \left ( L \pm \sqrt{ L^{2} \left ( 1 - \frac{4F}{L} \right )} \right ) = \frac{L}{2} \left ( 1 \pm \sqrt{1 - \frac{4F}{L}} \right )$, причем оба корня положительны. Разность этих корней $d_{1} - d_{2}$, по условию задачи, равна $l$, отсюда $\frac{L}{2} \left ( 1 + \sqrt{ 1 - \frac{4F}{L}} \right ) - \frac{L}{2} \left ( 1 - \sqrt{ 1 - \frac{4F}{L}} \right ) = l \Rightarrow L \sqrt{1 - \frac{4F}{L}} = l \Rightarrow 1 - \frac{4F}{L} = \frac{l^{2}}{L^{2}} \Rightarrow \frac{4F}{L} = 1 - \frac{l^{2}}{L^{2}} \Rightarrow F = \frac{L^{2} - l^{2}}{4L} = 24 см$.
