Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3208
2017-04-30 
Луч света падает на трехгранную стеклянную призму под углом $\alpha$. Показатель преломления стекла - $n$. Преломляющий угол призмы - $\phi$. Под каким углом луч выйдет из призмы и каков угол его отклонения от первоначального направления?
Решение:
NA - падающий луч (рис.); $AB \perp PQ: AC$ - преломленный в призме луч; $\angle BAC = \beta$ - угол преломления; $BC \perp QR; \angle ACB = \gamma; \psi$ - искомый угол выхода луча из призмы; $\angle CDM = 0$ - угол отклонения луча. Проведенное построение показывает, что призма отклоняет падающий на нее луч к основанию. Запишем закон преломления в точках А и С.
$\frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta} = n$ (1), $\frac{ \sin \gamma}{ \sin \psi} = \frac{1}{n}$ (2).
Так как $AB \perp PQ$ и $BC \perp QR$, то $\angle CBL = \angle PQR = \phi. \angle CBL$ - внешний угол $\Delta ABC$, поэтому он равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных.
$\angle CBL = \angle BAC + \angle ACB$ или $\phi = \beta + \gamma$ (3).
Из (1): $\sin \beta = \frac{ \sin \alpha}{n} \Rightarrow \beta = arcsin \left ( \frac{ \sin \alpha}{n} \right )$.
Из (3): $\gamma = \phi - \beta = \phi - arcsin \left ( \frac{ \sin \alpha}{n} \right )$.
Из (2): $\sin \psi = n \sin \gamma = n \sin \left ( \phi - arcsin \left ( \frac{ \sin \alpha}{n} \right ) \right ) = n \left ( \sin \phi \cos arcsin \left ( \frac{ \sin \alpha}{n} \right ) - \cos \phi \frac{ \sin \alpha}{n} \right )$;
Из тригонометрии известно, что $\cos arcsin x = \sqrt{1 - x^{2}}$, поэтому $\sin \psi = n \left ( \sin \phi \sqrt{1 - \frac{ \sin^{2} \alpha}{n^{2}}} - \cos \phi \frac{ \sin \alpha}{n} \right ) = \sin \phi \sqrt{ n^{2} - \sin^{2} \alpha} - \cos \phi \sin \alpha$. Следовательно, $\psi = arcsin ( \sin \phi \sqrt{ n^{2} - \sin^{2} \alpha} - \cos \phi \sin \alpha)$ (4).
Отметим, что $\angle DAB = \alpha$ (вертикальные углы) и $\angle DCB = \psi$. Поэтому $\angle DAC = \angle DAB - beta = \alpha - \beta$, а $\angle ACD = \angle DCB - \gamma = \psi - \gamma$.
$\theta$ - внешний угол $\Delta ADC$, поэтому $\theta = \angle DAC + \angle ACD = ( \alpha - \beta) + ( \psi - \gamma) = ( \alpha + \psi ) - ( \beta + \gamma)$
Но, как уже доказывалось, $\beta + \gamma = \phi$, следовательно $\theta = ( \alpha + \psi) - \phi$ (5). Отметим, что угол $\psi$ вычисляется по формуле (4).
При малых преломляющих углах $\phi$ и малых углах падения $\alpha$ формулу (5) можно существенно упростить. Из (1): $\sin \alpha = n \sin \beta$. Так как $\alpha$ и $\beta$ - малы, то $\alpha = n \beta$. Из (2): $\sin \psi = n \sin \gamma$. При малых $\alpha$ и $\phi$ углы $\psi$ и $\gamma$ также малы, поэтому $\psi = n \gamma$. Формула принимает вид:
$\theta = (n \beta + n \gamma) - \phi = n( \beta + \gamma) - \phi = n \phi - \phi = (n - 1) \phi$.
Луч света падает на трехгранную стеклянную призму под углом $\alpha$. Показатель преломления стекла - $n$. Преломляющий угол призмы - $\phi$. Под каким углом луч выйдет из призмы и каков угол его отклонения от первоначального направления?
Решение:
NA - падающий луч (рис.); $AB \perp PQ: AC$ - преломленный в призме луч; $\angle BAC = \beta$ - угол преломления; $BC \perp QR; \angle ACB = \gamma; \psi$ - искомый угол выхода луча из призмы; $\angle CDM = 0$ - угол отклонения луча. Проведенное построение показывает, что призма отклоняет падающий на нее луч к основанию. Запишем закон преломления в точках А и С.
$\frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta} = n$ (1), $\frac{ \sin \gamma}{ \sin \psi} = \frac{1}{n}$ (2).
Так как $AB \perp PQ$ и $BC \perp QR$, то $\angle CBL = \angle PQR = \phi. \angle CBL$ - внешний угол $\Delta ABC$, поэтому он равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных.
$\angle CBL = \angle BAC + \angle ACB$ или $\phi = \beta + \gamma$ (3).
Из (1): $\sin \beta = \frac{ \sin \alpha}{n} \Rightarrow \beta = arcsin \left ( \frac{ \sin \alpha}{n} \right )$.
Из (3): $\gamma = \phi - \beta = \phi - arcsin \left ( \frac{ \sin \alpha}{n} \right )$.
Из (2): $\sin \psi = n \sin \gamma = n \sin \left ( \phi - arcsin \left ( \frac{ \sin \alpha}{n} \right ) \right ) = n \left ( \sin \phi \cos arcsin \left ( \frac{ \sin \alpha}{n} \right ) - \cos \phi \frac{ \sin \alpha}{n} \right )$;
Из тригонометрии известно, что $\cos arcsin x = \sqrt{1 - x^{2}}$, поэтому $\sin \psi = n \left ( \sin \phi \sqrt{1 - \frac{ \sin^{2} \alpha}{n^{2}}} - \cos \phi \frac{ \sin \alpha}{n} \right ) = \sin \phi \sqrt{ n^{2} - \sin^{2} \alpha} - \cos \phi \sin \alpha$. Следовательно, $\psi = arcsin ( \sin \phi \sqrt{ n^{2} - \sin^{2} \alpha} - \cos \phi \sin \alpha)$ (4).
Отметим, что $\angle DAB = \alpha$ (вертикальные углы) и $\angle DCB = \psi$. Поэтому $\angle DAC = \angle DAB - beta = \alpha - \beta$, а $\angle ACD = \angle DCB - \gamma = \psi - \gamma$.
$\theta$ - внешний угол $\Delta ADC$, поэтому $\theta = \angle DAC + \angle ACD = ( \alpha - \beta) + ( \psi - \gamma) = ( \alpha + \psi ) - ( \beta + \gamma)$
Но, как уже доказывалось, $\beta + \gamma = \phi$, следовательно $\theta = ( \alpha + \psi) - \phi$ (5). Отметим, что угол $\psi$ вычисляется по формуле (4).
При малых преломляющих углах $\phi$ и малых углах падения $\alpha$ формулу (5) можно существенно упростить. Из (1): $\sin \alpha = n \sin \beta$. Так как $\alpha$ и $\beta$ - малы, то $\alpha = n \beta$. Из (2): $\sin \psi = n \sin \gamma$. При малых $\alpha$ и $\phi$ углы $\psi$ и $\gamma$ также малы, поэтому $\psi = n \gamma$. Формула принимает вид:
$\theta = (n \beta + n \gamma) - \phi = n( \beta + \gamma) - \phi = n \phi - \phi = (n - 1) \phi$.
