Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 320
2014-05-31 
Тонкая собирающая линза имеет фокусное расстояние $F$. Из того же материала, что и линза, изготовлена плоскопараллельная пластинка с полостью, форма которой повторяет форму линзы. Полость заполнена воздухом. Найдите оптическую силу пластинки с полостью.
Решение:
Фокусное расстояние $f$ линзы связано с радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$ поверхностей соотношением
$\frac{1}{f}=(n-1) \left ( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right )$
Плоскопараллельную пластинку с полостью, форма которой повторяет форму линзы, можно рассматривать как составленную из двух вплотную сдвинутых плосковогнутых стеклянных рассеивающих линз. Для нахождения их фокусных расстояний воспользуемся формулой (1). Полагая в ней $R_{2}=\infty$ и беря первый член суммы со знаком минус, а затем, полагая $R_{1}=\infty$ и беря со знаком минус второй член суммы, для фокусных расстояний находим выражения
$f_{1}=- \frac{R_{1}}{n-1}, f_{2}=- \frac{R_{2}}{n-1}$. (2)
Получим формулу, связывающую фокусное расстояние оптической системы $f^{\prime}$ из двух вплотную приставленных друг к другу тонких линз с фокусными расстояниями $f_{1}$ и $f_{2}$. Фокусным расстоянием оптической системы из двух линз будем называть расстояние от оптического центра системы до точки, в которой сходится после прохождения системы пучок лучей, параллельных главной оптической оси. Для нахождения фокусного расстояния системы линз воспользуемся общей формулой линзы
$\frac{1}{f}=\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$. (3)
Применяя формулу (3) по отношению к первой линзе, все входящие в нее расстояния будем снабжать индексом 1, но отношению ко второй - индексом 2.
Пусть слева на первую линзу падает пучок лучей, параллельный главной оптической оси. Тогда, полагая $a_{1}= \infty$, найдем, что $b_{1}=f_{1}$.
Ко второй линзе лучи будут подходить так, как если бы они были испущены из фокуса первой линзы. Это означает, что $a_{2}=-b_{1}-f_{1}$. После прохождения второй линзы лучи будут распространятся так, как если бы они были испущены из фокуса системы, т. е. $b_{2}=f^{\prime}$. Следовательно,
$-\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f^{\prime}}=\frac{1}{f_{2}}$.
Или, что то же самое,
$\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f^{2}}=\frac{1}{f_{\prime}}$, (4)
$D_{1}+D_{2}=D^{\prime}$, (5)
т. е. оптическая сила системы из двух вплотную сложенных линз равна алгебраической сумме оптических сил этих линз. Подставляя в (4) выражения для $f_{1}$ и $f_{2}$ (2), получаем
$D^{\prime}=-(n-1) \left ( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right )$. (6)
Сравнивая между собой формулы (1) и (6), находим
$D^{\prime}=-1/f < 0$, (7)
т. е. пластинка с воздушной полостью представляет собой рассеивающую линзу с фокусным расстоянием $f$.
Отметим, что формула (5) может быть обобщена и на произвольное число $n$ вплотную сдвинутых плоских линз с оптическими силами $D_{1},D_{2}, \cdots , D_{n}$. Оптическая сила D такой системы определяется формулой
$D=D_{1}+D_{2}+ \cdots + D_{n}$. (8)
Величина $D$ не зависит от порядка следования линз друг за другом.
Покажем, как более общая формула (8) может быть использована при решении данной задачи. Рассмотрим систему из трех сдвинутых вплотную линз - исходной тонкой собирающей и двух плосковогнутых, образующих плоскопараллельную пластинку с полостью. Для этой системы
$D_{0}=D_{1}+D_{2}+D$. (9)
Здесь
$D=1/f$ (10)
- оптическая сила собирающей линзы, $D_{1}$ и $D_{2}$ -оптические силы плосковогнутых линз, $D_{0}$ - оптическая сила плоскопараллельной пластинки. Найдем оптическую силу $D^{\prime}$ системы из двух плосковогнутых линз. Заменяя в (9) сумму $D_{1}+D_{2}$ на $D^{\prime}$, величину $D$ - правой частью формулы (10) и принимая во внимание, что $D_{0}=0$, снова приходим к формуле (7).
Тонкая собирающая линза имеет фокусное расстояние $F$. Из того же материала, что и линза, изготовлена плоскопараллельная пластинка с полостью, форма которой повторяет форму линзы. Полость заполнена воздухом. Найдите оптическую силу пластинки с полостью.
Решение:
Фокусное расстояние $f$ линзы связано с радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$ поверхностей соотношением
$\frac{1}{f}=(n-1) \left ( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right )$
Плоскопараллельную пластинку с полостью, форма которой повторяет форму линзы, можно рассматривать как составленную из двух вплотную сдвинутых плосковогнутых стеклянных рассеивающих линз. Для нахождения их фокусных расстояний воспользуемся формулой (1). Полагая в ней $R_{2}=\infty$ и беря первый член суммы со знаком минус, а затем, полагая $R_{1}=\infty$ и беря со знаком минус второй член суммы, для фокусных расстояний находим выражения
$f_{1}=- \frac{R_{1}}{n-1}, f_{2}=- \frac{R_{2}}{n-1}$. (2)
Получим формулу, связывающую фокусное расстояние оптической системы $f^{\prime}$ из двух вплотную приставленных друг к другу тонких линз с фокусными расстояниями $f_{1}$ и $f_{2}$. Фокусным расстоянием оптической системы из двух линз будем называть расстояние от оптического центра системы до точки, в которой сходится после прохождения системы пучок лучей, параллельных главной оптической оси. Для нахождения фокусного расстояния системы линз воспользуемся общей формулой линзы
$\frac{1}{f}=\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$. (3)
Применяя формулу (3) по отношению к первой линзе, все входящие в нее расстояния будем снабжать индексом 1, но отношению ко второй - индексом 2.
Пусть слева на первую линзу падает пучок лучей, параллельный главной оптической оси. Тогда, полагая $a_{1}= \infty$, найдем, что $b_{1}=f_{1}$.
Ко второй линзе лучи будут подходить так, как если бы они были испущены из фокуса первой линзы. Это означает, что $a_{2}=-b_{1}-f_{1}$. После прохождения второй линзы лучи будут распространятся так, как если бы они были испущены из фокуса системы, т. е. $b_{2}=f^{\prime}$. Следовательно,
$-\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f^{\prime}}=\frac{1}{f_{2}}$.
Или, что то же самое,
$\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f^{2}}=\frac{1}{f_{\prime}}$, (4)
$D_{1}+D_{2}=D^{\prime}$, (5)
т. е. оптическая сила системы из двух вплотную сложенных линз равна алгебраической сумме оптических сил этих линз. Подставляя в (4) выражения для $f_{1}$ и $f_{2}$ (2), получаем
$D^{\prime}=-(n-1) \left ( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right )$. (6)
Сравнивая между собой формулы (1) и (6), находим
$D^{\prime}=-1/f < 0$, (7)
т. е. пластинка с воздушной полостью представляет собой рассеивающую линзу с фокусным расстоянием $f$.
Отметим, что формула (5) может быть обобщена и на произвольное число $n$ вплотную сдвинутых плоских линз с оптическими силами $D_{1},D_{2}, \cdots , D_{n}$. Оптическая сила D такой системы определяется формулой
$D=D_{1}+D_{2}+ \cdots + D_{n}$. (8)
Величина $D$ не зависит от порядка следования линз друг за другом.
Покажем, как более общая формула (8) может быть использована при решении данной задачи. Рассмотрим систему из трех сдвинутых вплотную линз - исходной тонкой собирающей и двух плосковогнутых, образующих плоскопараллельную пластинку с полостью. Для этой системы
$D_{0}=D_{1}+D_{2}+D$. (9)
Здесь
$D=1/f$ (10)
- оптическая сила собирающей линзы, $D_{1}$ и $D_{2}$ -оптические силы плосковогнутых линз, $D_{0}$ - оптическая сила плоскопараллельной пластинки. Найдем оптическую силу $D^{\prime}$ системы из двух плосковогнутых линз. Заменяя в (9) сумму $D_{1}+D_{2}$ на $D^{\prime}$, величину $D$ - правой частью формулы (10) и принимая во внимание, что $D_{0}=0$, снова приходим к формуле (7).
