Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3198
2017-04-30 
Трансформатор, имеющий число витков в первичной обмотке $N_{1}$, а во вторичной - $N_{2}$, подключен к источнику переменного тока с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$. Нагрузка с сопротивлением $R$ подключена так, как показано на рис.. Определить напряжение на нагрузке.
Решение:
Пусть $u_{1}, u_{2}, I_{1}, I_{2}$ - действующие значения напряжений и токов соответственно в первичной и вторичной обмотках, $I_{0}$ - действующее значение тока в источнике. Предположим, что токи в некоторый момент времени направлены так, как показано на рис.. Из свойств трансформатора следует, что $\frac{u_{1}}{u_{2}} = \frac{N_{1}}{N_{2}}$ (1). Ток $I_{0} = I_{1} + I_{2}$ (2). Так как трансформатор идеальный, то $u_{1}I_{1} = u_{2}I_{2}$ (3). Напряжение на первичной обмотке $u_{1} = \mathcal{E} - I_{0}r$ (4). Разность потенциалов между точками А и В $\phi_{A} - \phi_{B} = u_{1}$, разность потенциалов между точками А и С $\phi_{A} - \phi_{C} = u_{2}$. Вычитая последнее уравнение из предыдущего, получаем $\phi_{C} - \phi_{B} = u_{1} - u_{2}$. Но $( \phi_{C} - \phi_{B})$ - напряжение на нагрузочном сопротивлении, равное $I_{2}R$, поэтому $I_{2}R = u_{1} - u_{2}$ (5).
Уравнения (1)-(5) образуют систему
$\begin{cases} \frac{u_{1}}{u_{2}} = \frac{N_{1}}{N_{2}}, \\ I_{0} = I_{1} + I_{2}, \\ u_{1}I_{1} = u_{2}I_{3}, \\ u_{1} = \mathcal{E} - I_{0}r, \\ I_{2}R = u_{1} - u_{2}. \end{cases}$
Пусть $\frac{N_{1}}{N_{2}} = k$. Из уравнения (1) $u_{1} = ku_{2}$. Подставляем в (3), получаем $kI_{1} = I_{2} \Rightarrow I_{1} = \frac{I_{2}}{k}$; подставляем в (2), получаем $I_{0} = I_{2} \left ( \frac{1}{k} + 1 \right ) \Rightarrow I_{0} = I_{2} \frac{1+k}{k}$; подставляем в (4), получаем $u_{1} = \mathcal{E} - I_{2}r \frac{1+k}{k}$. Из (1) $u_{2} = \frac{u_{1}}{k}$. Подставляем в (5): $I_{2}R = u_{1} - \frac{u_{1}}{k} = u_{1} \left ( 1 - \frac{1}{k} \right ) = u_{1} \frac{k-1}{k} = \left ( \mathcal{E} - I_{2}r \frac{1+k}{k} \right ) \left ( \frac{k-1}{k} \right ) = \mathcal{E} \frac{k-1}{k} + I_{2}r \frac{1-k^{2}}{k^{2}} \Rightarrow I_{2} \left ( R - r \frac{1-k^{2}}{k^{2}} \right ) = \mathcal{E} \frac{k-1}{k} \Rightarrow I_{2} = \frac{ \mathcal{E} (k-1)}{k \left ( R - r \frac{1 - k^{2}}{k^{2}} \right )} \Rightarrow u_{н} = I_{2}R = \frac{ \mathcal{E} R (k-1)}{kR - r \frac{1-k^{2}}{k^{2}}} = \frac{ \mathcal{E} R k (k-1)}{k^{2}R + r(k^{2} - 1)}$, где $k = \frac{N_{1}}{N_{2}}$.
Трансформатор, имеющий число витков в первичной обмотке $N_{1}$, а во вторичной - $N_{2}$, подключен к источнику переменного тока с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$. Нагрузка с сопротивлением $R$ подключена так, как показано на рис.. Определить напряжение на нагрузке.
Решение:
Пусть $u_{1}, u_{2}, I_{1}, I_{2}$ - действующие значения напряжений и токов соответственно в первичной и вторичной обмотках, $I_{0}$ - действующее значение тока в источнике. Предположим, что токи в некоторый момент времени направлены так, как показано на рис.. Из свойств трансформатора следует, что $\frac{u_{1}}{u_{2}} = \frac{N_{1}}{N_{2}}$ (1). Ток $I_{0} = I_{1} + I_{2}$ (2). Так как трансформатор идеальный, то $u_{1}I_{1} = u_{2}I_{2}$ (3). Напряжение на первичной обмотке $u_{1} = \mathcal{E} - I_{0}r$ (4). Разность потенциалов между точками А и В $\phi_{A} - \phi_{B} = u_{1}$, разность потенциалов между точками А и С $\phi_{A} - \phi_{C} = u_{2}$. Вычитая последнее уравнение из предыдущего, получаем $\phi_{C} - \phi_{B} = u_{1} - u_{2}$. Но $( \phi_{C} - \phi_{B})$ - напряжение на нагрузочном сопротивлении, равное $I_{2}R$, поэтому $I_{2}R = u_{1} - u_{2}$ (5).
Уравнения (1)-(5) образуют систему
$\begin{cases} \frac{u_{1}}{u_{2}} = \frac{N_{1}}{N_{2}}, \\ I_{0} = I_{1} + I_{2}, \\ u_{1}I_{1} = u_{2}I_{3}, \\ u_{1} = \mathcal{E} - I_{0}r, \\ I_{2}R = u_{1} - u_{2}. \end{cases}$
Пусть $\frac{N_{1}}{N_{2}} = k$. Из уравнения (1) $u_{1} = ku_{2}$. Подставляем в (3), получаем $kI_{1} = I_{2} \Rightarrow I_{1} = \frac{I_{2}}{k}$; подставляем в (2), получаем $I_{0} = I_{2} \left ( \frac{1}{k} + 1 \right ) \Rightarrow I_{0} = I_{2} \frac{1+k}{k}$; подставляем в (4), получаем $u_{1} = \mathcal{E} - I_{2}r \frac{1+k}{k}$. Из (1) $u_{2} = \frac{u_{1}}{k}$. Подставляем в (5): $I_{2}R = u_{1} - \frac{u_{1}}{k} = u_{1} \left ( 1 - \frac{1}{k} \right ) = u_{1} \frac{k-1}{k} = \left ( \mathcal{E} - I_{2}r \frac{1+k}{k} \right ) \left ( \frac{k-1}{k} \right ) = \mathcal{E} \frac{k-1}{k} + I_{2}r \frac{1-k^{2}}{k^{2}} \Rightarrow I_{2} \left ( R - r \frac{1-k^{2}}{k^{2}} \right ) = \mathcal{E} \frac{k-1}{k} \Rightarrow I_{2} = \frac{ \mathcal{E} (k-1)}{k \left ( R - r \frac{1 - k^{2}}{k^{2}} \right )} \Rightarrow u_{н} = I_{2}R = \frac{ \mathcal{E} R (k-1)}{kR - r \frac{1-k^{2}}{k^{2}}} = \frac{ \mathcal{E} R k (k-1)}{k^{2}R + r(k^{2} - 1)}$, где $k = \frac{N_{1}}{N_{2}}$.
